Question

如圖，兩個(gè)矩形如圖（1）擺放，其中矩形ABCD的長(zhǎng)a、寬b滿足

a-3- 3

+|b-

3

-1|=0，且另一矩形AEFG的寬AG和對(duì)角線FA長(zhǎng)是方程x²-3x+2=0的兩根
（1）分別求兩個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬；
（2）求證△ABC∽△AGF；
（3）將圖（1）中矩形AEFG繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°）得到圖（2），連FC，M為FC中點(diǎn)，連EM、DM，問DM與EM有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可以得出

a-3- 3

=0，|b-

3

-1|=0，就可以求出a、b的值，再通過(guò)解一元二次方程x²-3x+2=0求出其根就可以得出AG和對(duì)角線FA的值，由勾股定理就可以求出結(jié)論；
（2）由四邊形AEFG和四邊形ABCD是矩形可以得出∠G=∠B=90°，再由（1）的結(jié)論可以求出

AB

AG

=

BC

GF

，就可以求得△ABC∽△AGF；
（3）延長(zhǎng)EM到N，使MN=ME，連接CN并延長(zhǎng)交AB于H，連接DE、DN，根據(jù)條件可以得出△EFM≌△NCM，可以得出∠EFM=∠NCM，可以得出EF∥CN，運(yùn)用條件可以證明△EAD∽△NCD，可以得出∠ADE=∠CDN，可以得出∠EDN=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)就可以得出EM=DM．

解答：解：（1）∵

a-3- 3

+|b-

3

-1|=0，
∴

a-3- 3

=0，|b-

3

-1|=0，
∴a=3+

3

，b=

3

+1
∴BC=3+

3

，AB=

3

+1．
∵x²-3x+2=0的根為：
x₁=1，x₂=2，
∴AG=1，F(xiàn)A=2．
在Rt△AGF中，由勾股定理，得
FG=

3

．
∴矩形ABCD的長(zhǎng)為3+

3

，寬為

3

+1，
矩形AEFG的長(zhǎng)為

3

，寬為1；

（2）如圖1，∵四邊形AEFG和四邊形ABCD是矩形，
∴∠G=∠B=∠ADC=90°，EF∥AG，DC∥AB．∠GAE=∠BAD=90°．
∵BC=3+

3

，AB=

3

+1．AG=1，GF=

3

，
∴

GF

BC

=

3

3+ 3

=

1

3 +1

，

GA

AB

=

1

3 +1

，
∴

GF

BC

=

GA

AB

，
∴△ABC∽△AGF；

（3）DM=EM．
理由：如圖3，延長(zhǎng)EM到N，使MN=ME，連接CN并延長(zhǎng)交AB于H，連接DE、DN，
∵M(jìn)為FC中點(diǎn)，
∴MF=MC．
∵在△EFM和△NCM中，

EM=NM ∠EMF=∠NMC MF=MC

，
∴△EFM≌△NCM（SAS），
∴∠EFM=∠NCM，EF=CN=1
∴EF∥CH，
∴AG∥CH，
∴∠2=∠3．
∵．∠GAE+∠BAD+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=180°．
∵∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠4．
∵DC∥AB，
∴∠4=∠DCH，
∴∠1=∠DCH．
∵

EA

CN

=

3

1

=

3

，

DA

CD

=

3+ 3

3 +1

=

3

，
∴

EA

CN

=

DA

CD

，
∴△EAD∽△NCD，
∴∠ADE=∠CDN．
∵∠ADN+∠CDN=∠ADC=90°，
∴∠ADN+∠ADE=90°，
即∠EDN=90°．
∵EM=NM，
∴DM=

1

2

EN，EM=

1

2

EN，
∴DM=EM．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道相似形的綜合試題，考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，一元二次方程的解法及運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)條件證明三角形全等和三角形相似是解答本題的關(guān)鍵．