在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,ACBD的交點M恰好是AC的中點,又∠CAD=30°,PAAB=4,點N在線段PB上,且.

(1)求證:BDPC
(2)求證:MN∥平面PDC;
(3)設(shè)平面PAB∩平面PCDl,試問直線l是否與直線CD平行,請說明理由.
(1)見解析(2)見解析(3)不平行
(1)因為△ABC是正三角形,MAC的中點,
所以BMAC,即BDAC.
又因為PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PABD.
PAACA,所以BD⊥平面PAC,
PC?平面PAC,所以BDPC.
(2)在正三角形ABC中,BM=2,
在△ACD中,因為MAC的中點,DMAC,所以ADCD,∠CDA=120°,所以DM,所以BMMD=3∶1,
所以BNNPBMMD,所以MNPD,
MN?平面PDC,PD?平面PDC,所以MN∥平面PDC.
(3)假設(shè)直線lCD,因為l?平面PABCD?平面PAB,所以CD∥平面PAB.
CD?平面ABCD,平面PAB∩平面ABCDAB
所以CDAB.
又知CDAB不平行,
所以直線l與直線CD不平行.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知為平行四邊形,,,,點上,,相交于.現(xiàn)將四邊形沿折起,使點在平面上的射影恰在直線上.
(1)求證:平面;
(2)求折后直線與平面所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐P­ABCD中,PA⊥底面ABCDPCAD,底面ABCD為梯形,ABDCABBC,PAABBC,點E在棱PB上,且PE=2EB.

(1)求證:平面PAB⊥平面PCB;
(2)求證:PD∥平面EAC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知直線//平面,直線平面,則( ).
A.//B.異面 C.相交 D.無公共點

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

給出下列命題:
垂直于同一直線的兩直線平行.
同平行于一平面的兩直線平行.
同平行于一直線的兩直線平行.
平面內(nèi)不相交的兩直線平行.
其中正確的命題個數(shù)是(    )
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,CC1的中點,則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線(  )
A.不存在B.有且只有兩條
C.有且只有三條D.有無數(shù)條

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知mn是空間兩條不同的直線,α,βγ是三個不同的平面,則下列命題中為真的是(  )
A.若αβ,m?α,n?β,則mn
B.若αγm,βγnmn,則αβ
C.若m?β,αβ,則mα
D.若mβ,mα,則αβ

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列命題中錯誤的是 (  ).
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,αβl,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)是不同的直線,是不同的平面,下列命題中正確的是(    )
A.若,則
B.若,則
C.若,則
D.若,則

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