Question

對(duì)于函數(shù)g（x）=（x-1）²e^x，
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若m∈N⁺，問g（x）=lnx-

x2

2

+mx在[1，+∞）是否存在兩個(gè)不同的解，若存在，求m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得單調(diào)區(qū)間；
（2）令h（x）=（x-1）²e^x-lnx+

x2

2

-mx，x∈[1，+∞），利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）g（x）=（x-1）²e^x，
∴g′（x）=（x+1）（x-1）e^x
∴由g′（x）＞0得，x＜-1或x＞1；由g′（x）＜0得，-1＜x＜1；
∴g（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（-1，1）．
（2）g（x）=lnx-

x2

2

+mx在[1，+∞）存在兩個(gè)不同的解，等價(jià)于g（x）=lnx-

x2

2

+mx在[1，+∞）有兩個(gè)不等的根．
令h（x）=（x-1）²e^x-lnx+

x2

2

-mx，x∈[1，+∞）
h′（x）=（x²-1）e^x-

1

x

+x-m，h^″（x）=（x-1）²e^x+

1

x2

+1，
∴h^″（x）≥0，h′（x）是[1，+∞）上的增函數(shù)，又h′（1）=-m＜0，

lim

n→∞

h′(x)=+∞，
∴存在x₀∈（1，+∞）使得h′（x₀）=0，故h（x）在（1，x₀）單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）單調(diào)遞增，
又h（1）=

1

2

-m＜0，
∴g（x）=lnx-

x2

2

+mx在[1，+∞）至多有一個(gè)解，故不存在

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)區(qū)間知識(shí)，考查學(xué)生問題的轉(zhuǎn)化劃歸能力及運(yùn)算能力，屬難題．