Question

已知函數(shù)f（x）=x+

2

x-1

-1
（1）記g（x）=f（x+1），試證明：g（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
（2）若方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三個解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶函數(shù)圖象的對稱性,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）記g（x）=f（x+1），試證明：g（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
（2）若方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三個解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x+

2

x-1

-1
∴g（x）=f（x+1）=x+1+

2

x+1-1

-1=x+

2

x

，
則g（-x）=-x-

2

x

=-（x+

2

x

）=-g（x），
則g（x）是奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
（2）∵f（x）=t（x²-2x+3）|x|，
∴x+

2

x-1

-1=t（x²-2x+3）|x|，
即

x2-2x+3

x-1

=t（x²-2x+3）|x|，
化簡得t=

1

|x|(x-1)

，即

1

t

=|x|(x-1)=

x(x-1)，x＞0且x≠1 -x(x-1)，x＜0

，
作出對對應(yīng)的函數(shù)圖象如圖：
當(dāng)x＞0時，x（x-1）=（x-

1

2

）²-

1

4

≥-

1

4

，
∴要使方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三個解，
則-

1

4

＜

1

t

＜0，
即t＜-4

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．