Question

已知a，b，c∈R
（1）若|a|＜1且|b|＜1，求證：ab+1＞a+b；
（2）由（1），運(yùn)用類比推理，若|a|＜1且|b|＜1且|c|＜1，求證：abc+2＞a+b+c；
（3）由（1）（2），運(yùn)用歸納推理，猜想出一個(gè)更一般性的結(jié)論．（不要求證明）

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用作差法進(jìn)行證明即可；
（2）由（1），運(yùn)用類比推理，可得（ab）c+1＞ab+c，代入即可證明；
（3）由（1）（2），運(yùn)用歸納推理，可得若|a_i|＜1，i=1，2，3，…，n，則有a₁a₂a₃…a_n+（n-1）＞a₁+a₂+a₃+…+a_n．

解答： （1）證明：由|a|＜1且|b|＜1知，ab+1-a-b=（a-1）（b-1）＞0得ab+1＞a+b…（4分）
（2）證明：由（1）得（ab）c+1＞ab+c，
所以abc+2=[（ab）c+1]+1＞（ab+c）+1=（ab+1）+c＞a+b+c…（10分）
（3）解：若|a_i|＜1，i=1，2，3，…，n，
則有a₁a₂a₃…a_n+（n-1）＞a₁+a₂+a₃+…+a_n…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查合情推理，正確運(yùn)用類比推理是關(guān)鍵．