Question

已知x_i＞0（i=1，2，3，…n），我們知道有（x₁+x₂）（

1

x1

+

1

x2

）≥4成立．
（Ⅰ）請(qǐng)猜測(cè)（x₁+x₂+x₃）（

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

）≥？；（x₁+x₂+x₃+x₄）（

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

）≥？
（Ⅱ）由上述幾個(gè)不等式，請(qǐng)你猜測(cè)與x₁+x₂+…+x_n和

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

（N≥2，n∈N^*）；（有關(guān)的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)不等式：（x₁+x₂）（

1

x1

+

1

x2

）≥4，猜想（x₁+x₂+x₃）（

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

）≥9，（x₁+x₂+x₃+x₄）（

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

）≥16．
（Ⅱ）猜測(cè)（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）≥n²（n≥2），再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： （Ⅰ）解：(x1+x2+x3)(

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

)≥9，(x1+x2+x3+x4)(

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

)≥16
（Ⅱ）證明：猜測(cè)滿足的不等式為（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）≥n²（n≥2），
證明如下：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，x₁•

1

x1

≥1，猜想成立；當(dāng)n=2時(shí)，（x₁+x₂）（

1

x1

+

1

x2

）≥4，猜想成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即（x₁+x₂+…+x_k）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xk

）≥k²，
那么n=k+1時(shí)，（x₁+x₂+…+x_k+1）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xk

+

1

xk+1

）=（x₁+x₂+…+x_k）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xk

）+x_k+1（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xk

）+（x₁+x₂+…+x_k）

1

xk+1

+1≥k²+2

(x1+x2+…+xk)( 1 x1 + 1 x2 +…+ 1 xk )

+1=k²+2k+1=（k+1）²
則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，
根據(jù)（1）（2）可得猜想對(duì)任意的n∈N，n≥1都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題以已知不等式為載體，考查類比推理，考查數(shù)學(xué)歸納法，關(guān)鍵是第二步，同時(shí)應(yīng)注意利用歸納假設(shè)．