已知函數(shù)(其中,e是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若,試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若,當時,試比較與2的大。
(Ⅲ)若函數(shù)有兩個極值點,(),求k的取值范圍,并證明.
(Ⅰ)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù);(Ⅱ);
(Ⅲ)實數(shù)k的取值范圍是;證明詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)求導,根據(jù)其符號即可得其單調(diào)性;(Ⅱ)當時,,通過導數(shù)可得其范圍,從而得出與2的大;(Ⅲ)函數(shù)有兩個極值點,,則,是的兩個根,即方程有兩個根.接下來就研究函數(shù)圖象特征,結(jié)合圖象便可知取何值時,方程有兩個根.
結(jié)合圖象可知,函數(shù)的兩個極值點,滿足.
,這里面有兩個變量,那么能否換掉一個呢?
由,得,利用這個關系式便可將換掉而只留:
,這樣根據(jù)的范圍,便可得,從而使問題得證.
試題解析:(Ⅰ)由可知,當時,由于,,
故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù). 3分
(Ⅱ)當時,,則, 4分
令,,
由于,故,于是在為增函數(shù), 6分
所以,即在恒成立,
從而在為增函數(shù),故. 8分
(Ⅲ)函數(shù)有兩個極值點,,則,是的兩個根,
即方程有兩個根,設,則,
當時,,函數(shù)單調(diào)遞增且;
當時,,函數(shù)單調(diào)遞增且;
當時,,函數(shù)單調(diào)遞減且.
要使有兩個根,只需.
故實數(shù)k的取值范圍是. 10分
又由上可知函數(shù)的兩個極值點
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在點處的切線與直線平行,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)若函數(shù)在處取得極小值,且,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的零點;
(2)若對任意均有兩個極值點,一個在區(qū)間內(nèi),另一個在區(qū)間外,
求的取值范圍;
(3)已知且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),探究函數(shù)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=在x=0,x=處存在極值。
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點A,B使得△AOB是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形,且斜邊AB的中點在y軸上,求實數(shù)c的取值范圍;
(Ⅲ)當c=e時,討論關于x的方程f(x)=kx(k∈R)的實根個數(shù)。
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已知為實常數(shù),函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點;
(Ⅰ)求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)求證:且.(注:為自然對數(shù)的底數(shù))
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已知函數(shù),,其中且.
(Ⅰ) 當,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若時,函數(shù)有極值,求函數(shù)圖象的對稱中心的坐標;
(Ⅲ)設函數(shù) (是自然對數(shù)的底數(shù)),是否存在a使在上為減函數(shù),若存在,求實數(shù)a的范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)的圖象在上連續(xù),定義:,.其中,表示函數(shù)在上的最小值,表示函數(shù)在上的最大值.若存在最小正整數(shù),使得對任意的成立,則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”.
(Ⅰ)若,試寫出,的表達式;
(Ⅱ)已知函數(shù),試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”.如果是,求出對應的;如果不是,請說明理由;
(Ⅲ)已知,函數(shù)是上的2階收縮函數(shù),求的取值范圍.
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