已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的零點;
(2)若對任意均有兩個極值點,一個在區(qū)間內(nèi),另一個在區(qū)間外,
求的取值范圍;
(3)已知且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),探究函數(shù)的單調(diào)性.
(1)① 當時,函數(shù)有1個零點: ② 當時,函數(shù)有2個零點: ③ 當時,函數(shù)有兩個零點: ④ 當時,函數(shù)有三個零點:(2)(3)探究詳見解析.
解析試題分析:(1)令n=1,n=2,求出g(x)的表達式,在分類求出g(x)=0的解即可.
(2)對函數(shù)求導,,對其分母構(gòu)造函數(shù),則=0由有一根在內(nèi),另一個在區(qū)間外,可得,即,解出a即可.
(3)由(2)可知存在 ,結(jié)合已知條件,可得函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù), 所 的分子的值小于等于0,其相應的判別式小于等于0,在結(jié)合已知可證得即可.
試題解析:(1),
① 當時,函數(shù)有1個零點: 1分
② 當時,函數(shù)有2個零點: 2分
③ 當時,函數(shù)有兩個零點: 3分
④ 當時,函數(shù)有三個零點:
4分
(2) 5分
設,的圖像是開口向下的拋物線.
由題意對任意有兩個不等實數(shù)根,
且
則對任意,即, 7分
又任意關(guān)于遞增,,
故
所以的取值范圍是 9分
(3)由(2)知, 存在,又函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),故函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù), 10分
從而即 11分
所以
由知 13分
即對任意<
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-2x.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
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已知為函數(shù)圖象上一點,O為坐標原點,記直線的斜率.
(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)設,若對任意恒有,求實數(shù)的取值范圍.
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設函數(shù),其中,為正整數(shù),、、均為常數(shù),曲線在處的切線方程為.
(1)求、、的值;
(2)求函數(shù)的最大值;
(3)證明:對任意的都有.(為自然對數(shù)的底)
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已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行,求的值;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設,若對任意,均存在,使得,求的取值范圍.
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已知函數(shù),.
(Ⅰ)若與在處相切,試求的表達式;
(Ⅱ)若在上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)證明不等式:.
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已知函數(shù)(其中,e是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若,試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若,當時,試比較與2的大;
(Ⅲ)若函數(shù)有兩個極值點,(),求k的取值范圍,并證明.
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