已知為實常數(shù),函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調性;
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點;
(Ⅰ)求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)求證:.(注:為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)詳見解析;(2),證明詳見解析.

解析試題分析:本題主要考查導數(shù)的運算,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值以及不等式等基礎知識,考查函數(shù)思想、分類討論思想,考查綜合分析和解決問題的能力.第一問,先對函數(shù)求導,由于函數(shù)有定義域,所以恒大于0,所以對進行討論,當時,導數(shù)恒正,所以函數(shù)在上是增函數(shù),當時,的根為,所以將定義域從斷開,變成2部分,分別判斷函數(shù)的單調性;第二問,(1)通過第一問的分析,只有當時,才有可能有2個零點,需要討論函數(shù)圖像的最大值的正負,當最大值小于等于0時,最多有一個零點,當最大值大于0時,還需要判斷在最大值點兩側是否有縱坐標小于0的點,如果有就符合題意,(2)由(1)可知函數(shù)的單調性,只需判斷出的正負即可,經過分析,因為,所以.只要證明:就可以得出結論,所以下面經過構造函數(shù)證明,只需求出函數(shù)的最值即可.
試題解析:(I)的定義域為.其導數(shù).   1分
①當時,,函數(shù)在上是增函數(shù);    2分
②當時,在區(qū)間上,;在區(qū)間上,
所以是增函數(shù),在是減函數(shù).     4分
(II)①由(I)知,當時,函數(shù)上是增函數(shù),不可能有兩個零點
時,是增函數(shù),在是減函數(shù),此時為函數(shù)的最大值,
時,最多有一個零點,所以,解得, 6分
此時,,且,

,則,所以上單調遞增,
所以,即
所以的取值范圍是       8分
②證法一:
.設 . .
 時, ;當 時, ;
所以 上是增函數(shù),在 上是減函數(shù). 最大值為 .
由于 ,且 ,所以 ,所以.
下面證明:當時, .設 ,

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求函數(shù)的單調區(qū)間和極值;
(Ⅱ)設函數(shù)圖象上任意一點的切線的斜率為,當的最小值為1時,求此時切線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設函數(shù),其中為正整數(shù),、、均為常數(shù),曲線處的切線方程為.
(1)求、、的值;
(2)求函數(shù)的最大值;
(3)證明:對任意的都有.(為自然對數(shù)的底)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),.
(Ⅰ)若處相切,試求的表達式;
(Ⅱ)若上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)證明不等式:.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設函數(shù),曲線通過點(0,2a+3),且在處的切線垂直于y軸.
(I)用a分別表示b和c;
(II)當bc取得最大值時,寫出的解析式;
(III)在(II)的條件下,若函數(shù)g(x)為偶函數(shù),且當時,,求當時g(x)的表達式,并求函數(shù)g(x)在R上的最小值及相應的x值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)(其中,e是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若,試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性;
(Ⅱ)若,當時,試比較與2的大;
(Ⅲ)若函數(shù)有兩個極值點),求k的取值范圍,并證明

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知函數(shù).
(1)若恒成立,求實數(shù)的值;
(2)若方程有一根為,方程的根為,是否存在實數(shù),使?若存在,求出所有滿足條件的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知a為實數(shù),x=1是函數(shù)的一個極值點。
(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)設函數(shù),對于任意,有不等式
恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的最小值;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)對于函數(shù)定義域上的任意實數(shù),若存在常數(shù),使得都成立,則稱直線為函數(shù)的“分界線”.設函數(shù),是否存在“分界線”?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

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