已知函數(shù)的圖象在上連續(xù),定義:,.其中,表示函數(shù)上的最小值,表示函數(shù)上的最大值.若存在最小正整數(shù),使得對任意的成立,則稱函數(shù)上的“階收縮函數(shù)”.
(Ⅰ)若,試寫出,的表達式;
(Ⅱ)已知函數(shù),試判斷是否為上的“階收縮函數(shù)”.如果是,求出對應的;如果不是,請說明理由;
(Ⅲ)已知,函數(shù)上的2階收縮函數(shù),求的取值范圍.

(Ⅰ),;(Ⅱ)存在k=4,使得f(x)是[﹣1,4]上的4階收縮函數(shù).(Ⅲ)

解析試題分析:(Ⅰ)根據(jù)f(x)=cosx的最大值為1,可得f1(x)、f2(x)的解析式.
(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)f(x)=x2在x∈[-1,4]上的值域,先寫出f1(x)、f2(x)的解析式,再由f2(x)-f1(x)≤k(x-a)求出k的范圍得到答案.
(3)先對函數(shù)f(x)進行求導判斷函數(shù)的單調性,進而寫出f1(x)、f2(x)的解析式,
然后再由f2(x)-f1(x)≤k(x-a)求出k的范圍得到答案.
試題解析:
(Ⅰ)由題意可得:,2分
(Ⅱ),,
所以                             4分
時,,∴,即
時,,∴,即
時,,∴,即
綜上所述,∴
即存在k=4,使得f(x)是[﹣1,4]上的4階收縮函數(shù).                     7分
(Ⅲ).函數(shù)f(x)的變化情況如下:

    x
    (-,0)
    0
    (0,2)
    2
    (2,+


    0
    +
    0

    f(x)

    0

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    練習冊系列答案
    相關習題

    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

    已知函數(shù)(其中,e是自然對數(shù)的底數(shù)).
    (Ⅰ)若,試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性;
    (Ⅱ)若,當時,試比較與2的大小;
    (Ⅲ)若函數(shù)有兩個極值點,),求k的取值范圍,并證明

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    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

    已知函數(shù).
    (1)若處取得極值,求實數(shù)的值;
    (2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

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    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

    已知函數(shù)(其中為常數(shù)).
    (I)當時,求函數(shù)的最值;
    (Ⅱ)討論函數(shù)的單調性.

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    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

    已知函數(shù)
    (Ⅰ)求函數(shù)的最小值;
    (Ⅱ)求證:;
    (Ⅲ)對于函數(shù)定義域上的任意實數(shù),若存在常數(shù),使得都成立,則稱直線為函數(shù)的“分界線”.設函數(shù),,是否存在“分界線”?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

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    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

    已知函數(shù),.
    (1)若,求證:當時,;
    (2)若在區(qū)間上單調遞增,試求的取值范圍;
    (3)求證:.

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    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

    已知函數(shù)的反函數(shù)為,設的圖象上在點處的切線在y軸上的截距為,數(shù)列{}滿足: 
    (Ⅰ)求數(shù)列{}的通項公式;
    (Ⅱ)在數(shù)列中,僅最小,求的取值范圍;
    (Ⅲ)令函數(shù)數(shù)列滿足,求證:對一切n≥2的正整數(shù)都有 

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    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

    已知函數(shù),點為一定點,直線分別與函數(shù)的圖象和軸交于點,,記的面積為.
    (1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;
    (2)當時, 若,使得, 求實數(shù)的取值范圍.

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    科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

    已知函數(shù),且.
    (1)判斷的奇偶性并說明理由;
    (2)判斷在區(qū)間上的單調性,并證明你的結論;
    (3)若在區(qū)間上,不等式恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍.

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