Question

已知函數(shù)f(x)＝在x＝0，x＝處存在極值。
（Ⅰ）求實數(shù)a,b的值；
（Ⅱ）函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點A,B使得△AOB是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在y軸上，求實數(shù)c的取值范圍；
(Ⅲ）當c＝e時，討論關于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的實根個數(shù)。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）實數(shù)c的取值范圍是(0,＋∞) ；(Ⅲ）當k＞或k＜0時，方程f(x)＝kx有一個實根；當k＝或k＝0時，方程f(x)＝kx有兩個實根；當0＜k＜時，方程f(x)＝kx有三個實根。

解析試題分析：（Ⅰ）由于兩個極值點都小于零，故對在求導，，即當時，，依題意，由可求實數(shù)的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，依題意A，B的橫坐標互為相反數(shù)，不妨設，分與討論，利用是直角，，即可求得實數(shù)的取值范圍；(Ⅲ）由方程，知，可知一定是方程的根，，方程等價于，構造函數(shù)，分且與兩類討論，即可確定的實根的個數(shù)．
試題解析：（Ⅰ）當x＜1時，.
因為函數(shù)f(x)在x＝0,x＝處存在極值，所以
解得a＝1,b＝0.                                              (3分)
（Ⅱ）由（1）得
根據(jù)條件知A,B的橫坐標互為相反數(shù)，不妨設A(－t,t³＋t²), B(t,f(t)(t＞0).   (4分)
若t＜1，則f(t)＝－t³＋t²,
由∠AOB是直角得·＝0，即－t²＋(t³＋t²)(－t³＋t²)＝0，
即t⁴－t²＋1＝0.此時無解；                                    (5分)
若t≥1，則f(t)＝c(e^t―1―1).由于AB的中點在y軸上，且∠AOB是直角，
所以B點不可能在x軸上，即t≠1.
同理·＝0， 即－t²＋( t³＋t²)·c(e^t―1―1)＝0，
整理后得 .                                (7分)
因為函數(shù)y＝(t＋1)(e^t-1―1)在t＞1上的值域是(0, ＋∞),
所以實數(shù)c的取值范圍是(0, ＋∞).                         (8分)
（3）由方程f(x)＝kx,
知
因為0一定是方程的根，                                 (9分)
所以僅就x≠0時進行研究：
方程等價于
構造函數(shù)                       (10分)
對于x＜1且x≠0部分，函數(shù)g(x)＝－x²＋x的圖象是開口向下的拋物線的一部分，當x＝時取得最大值，其值域是(－∞, 0)∪(0, ]；        (11分)
對于x≥1部分，函數(shù)，由，
知函數(shù)g(x)在(1, ＋∞)上單調(diào)遞增,則g(x)［0，+)         (13分)
所以, ①當k＞或k＜0時，方程f(x)＝kx有一個實根；
②當k＝或k＝0時，方程f(x)＝kx有兩個實根；
③當0＜k＜時，方程f(x)＝kx有三個實根。            (14分)
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；根的存在性及根的個數(shù)判斷．