Question

【題目】已知圓，橢圓的短半軸長(zhǎng)等于圓的半徑，且過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若動(dòng)直線(xiàn)與圓相切，且與相交于兩點(diǎn)，求點(diǎn)到弦的垂直平分線(xiàn)距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值為.

【解析】

（1）由條件知，，求出過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)直線(xiàn)方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，可得出，從而，即可得橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)到弦的垂直平分線(xiàn)的距離為，

①若直線(xiàn)軸，則弦的垂直平分線(xiàn)為軸，所以，若直線(xiàn)軸，則弦的垂直平分線(xiàn)為軸，所以．

②設(shè)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，利用點(diǎn)差法求出，進(jìn)而得出直線(xiàn)的方程為，再根據(jù)直線(xiàn)與圓相切，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，得出，從而得出弦的垂直平分線(xiàn)方程為，最后再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求出點(diǎn)到弦的垂直平分線(xiàn)的距離，結(jié)合運(yùn)用基本不等式求出距離的最大值.

解：（1）由條件知，所以，

設(shè)橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

則過(guò)該點(diǎn)與圓相切于點(diǎn)的直線(xiàn)方程為：

，

化簡(jiǎn)得：，

圓到直線(xiàn)的距離等于半徑1，即，

解得:，從而 ，

所以橢圓C的方程為： .

（2）設(shè)點(diǎn)到弦的垂直平分線(xiàn)的距離為，

①若直線(xiàn)軸，則弦的垂直平分線(xiàn)為軸，所以，

若直線(xiàn)軸，則弦的垂直平分線(xiàn)為軸，所以．

②設(shè)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

由點(diǎn)在橢圓上，得

①-②得，，

即，

所以直線(xiàn)的方程為：，

化簡(jiǎn)得：.

因?yàn)橹本�(xiàn)與圓相切，所以，

化簡(jiǎn)得：，

又因?yàn)橄?/span>的垂直平分線(xiàn)方程為：，

即.

所以，點(diǎn)到弦的垂直平分線(xiàn)的距離為：

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．

所以點(diǎn)到弦的垂直平分線(xiàn)的距離最大值為.