【題目】如圖，在中，，，.過(guò)的中點(diǎn)的動(dòng)直線與線段交于點(diǎn).將沿直線向上翻折至，使得點(diǎn)在平面內(nèi)的投影落在線段上.則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為________.

【答案】

【解析】

建立空間坐標(biāo)系，求出的軌跡，根據(jù)折疊過(guò)程中量之間的關(guān)系的，可得的取值范圍，進(jìn)而得到圓心角，從而弧長(zhǎng)即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.

因?yàn)榉矍昂?/span>長(zhǎng)度不變，所以點(diǎn)可以在空間中看做以為球心，AC為直徑的球面上，又因?yàn)?/span>的投影始終在上，所以點(diǎn)所在的面垂直于底面，

故點(diǎn)軌跡為垂直于底面ABC的豎直面去截球所得圓面的圓弧，這個(gè)圓弧的直徑為時(shí)，的長(zhǎng)度（由余弦定理可得，所以此時(shí)），

如圖，以底面點(diǎn)B為空間原點(diǎn)建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，

得點(diǎn)，點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，翻折后點(diǎn)的投影在軸上，

所以點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，即由，，

根據(jù)空間兩點(diǎn)之間距離公式可得軌跡：，

又因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)要符合空間面翻折結(jié)論：，

即，其中，

又動(dòng)點(diǎn)N在線段AB上動(dòng)，設(shè)，

故，

且，由，可計(jì)算得橫坐標(biāo)范圍為，

且點(diǎn)在上方，由，計(jì)算可得圓弧所在扇形圓心角為，

所以弧長(zhǎng)為.

故答案為：.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】惠州市某商店銷售某海鮮，經(jīng)理統(tǒng)計(jì)了春節(jié)前后50天該海鮮的日需求量（，單位：公斤），其頻率分布直方圖如下圖所示.該海鮮每天進(jìn)貨1次，每銷售1公斤可獲利40元；若供大于求，剩余的海鮮削價(jià)處理，削價(jià)處理的海鮮每公斤虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，調(diào)撥的海鮮銷售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店該海鮮每天的進(jìn)貨量為14公斤，商店銷售該海鮮的日利潤(rùn)為元.

（1）求商店日利潤(rùn)關(guān)于日需求量的函數(shù)表達(dá)式.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，

①估計(jì)這50天此商店該海鮮日需求量的平均數(shù).

②假設(shè)用事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率，請(qǐng)估計(jì)日利潤(rùn)不少于620元的概率.

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【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅱ)求證：.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.

（1）求的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）求曲線C上的點(diǎn)到距離的最大值及該點(diǎn)坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)

（1）證明:當(dāng)時(shí)，；

（2）當(dāng)時(shí)，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個(gè)零件，質(zhì)檢員小張每天都會(huì)隨機(jī)地從中抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對(duì)其余所有零件進(jìn)行檢查．根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)，這些零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布（單位：微米），且相互獨(dú)立．若零件的長(zhǎng)度滿足，則認(rèn)為該零件是合格的，否則該零件不合格．

（1）假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為，求及的數(shù)學(xué)期望；

（2）小張某天恰好從50個(gè)零件中檢查出2個(gè)不合格的零件，若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率．已知檢查一個(gè)零件的成本為10元，而每個(gè)不合格零件流入市場(chǎng)帶來(lái)的損失為260元．假設(shè)充分大，為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說(shuō)明理由．

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則．

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求，；

（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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【題目】如圖，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)、、為橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，為橢圓的右端點(diǎn)，過(guò)中心，且，．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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