【題目】如圖,已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線上,使得△ABC的重心G在x軸上.
(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程 ;
(2)求證:直線OA與直線BC的傾斜角互補(bǔ);
(3)當(dāng)xA∈(1,2)時(shí),求△ABC面積的最大值.
【答案】(1)p=2,準(zhǔn)線方程為x=﹣1 ;(2)見解析;(3)最大值為2.
【解析】
(1)求得拋物線的焦點(diǎn),由題意可得,可得拋物線方程和準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)過(guò)的直線方程為,,,,,,,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式,化簡(jiǎn)可得證明,檢驗(yàn)直線的斜率不存在,也成立;
(3)求得的范圍和的坐標(biāo),運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得到直線的距離,由弦長(zhǎng)公式可得,由三角形的面積公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,判斷單調(diào)性可得面積的范圍,檢驗(yàn)直線的斜率不存在時(shí),可得的面積,進(jìn)而得到所求最大值.
解:(1)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),即,即,
拋物線的方程為,準(zhǔn)線方程為;
(2)證明:設(shè)過(guò)的直線方程為,,,,,,,
即有,,,
聯(lián)立直線和拋物線可得,
可得,,
則,
由的重心在軸上,可得,即,
即有,
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),求得,,的坐標(biāo),可得.
則直線與直線的傾斜角互補(bǔ);
(3)由(2)可得,,
可得,解得,
由拋物線的定義可得,
由,即,即,,
的坐標(biāo)為,,
到直線的距離為,
可得的面積為,
由,可得,
設(shè),則,
由,則在遞減,
可得;
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè),,可得,
的面積為,
可得的面積的最大值為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,設(shè),.
(Ⅰ)試確定t的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù);
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)求證:對(duì)于任意的,總存在,滿足,又若方程在上有唯一解,請(qǐng)確定t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】春節(jié)期間,受煙花爆竹集中燃放影響,我國(guó)多數(shù)城市空氣中濃度快速上升,特別是在大氣擴(kuò)散條件不利的情況下,空氣質(zhì)量在短時(shí)間內(nèi)會(huì)迅速惡化年除夕18時(shí)和初一2時(shí),國(guó)家環(huán)保部門對(duì)8個(gè)城市空氣中濃度監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)如表單位:微克立方米.
除夕18時(shí)濃度 | 初一2時(shí)濃度 | |
北京 | 75 | 647 |
天津 | 66 | 400 |
石家莊 | 89 | 375 |
廊坊 | 102 | 399 |
太原 | 46 | 115 |
上海 | 16 | 17 |
南京 | 35 | 44 |
杭州 | 131 | 39 |
Ⅰ求這8個(gè)城市除夕18時(shí)空氣中濃度的平均值;
Ⅱ環(huán)保部門發(fā)現(xiàn):除夕18時(shí)到初一2時(shí)空氣中濃度上升不超過(guò)100的城市都是“禁止燃放煙花爆竹“的城市,濃度上升超過(guò)100的城市都未禁止燃放煙花爆竹從以上8個(gè)城市中隨機(jī)選取3個(gè)城市組織專家進(jìn)行調(diào)研,記選到“禁止燃放煙花爆竹”的城市個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量y的分布列和數(shù)學(xué)期望;
Ⅲ記2017年除夕18時(shí)和初一2時(shí)以上8個(gè)城市空氣中濃度的方差分別為和,比較和的大小關(guān)系只需寫出結(jié)果.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】田忌賽馬是《史記》中記載的一個(gè)故事,說(shuō)的是齊國(guó)大將軍田忌經(jīng)常與齊國(guó)眾公子賽馬,孫臏發(fā)現(xiàn)田忌的馬和其他人的馬相差并不遠(yuǎn),都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻(xiàn)策:比賽即將開始時(shí),他讓田忌用下等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設(shè)田忌的各等級(jí)馬與某公子的各等級(jí)馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽,田忌獲勝的概率如下表所示:
比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場(chǎng)賽馬組成,每場(chǎng)由公子和田忌各出一匹馬參賽,結(jié)果只有勝和負(fù)兩種,并且毎一方三場(chǎng)賽馬的馬的等級(jí)各不相同,三場(chǎng)比賽中至少獲勝兩場(chǎng)的一方為最終勝利者.
(1)如果按孫臏的策略比賽一次,求田忌獲勝的概率;
(2)如果比賽約定,只能同等級(jí)馬對(duì)戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對(duì)方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的兩倍,以短軸一個(gè)頂點(diǎn)和長(zhǎng)軸一個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的線段作直徑的圓的周長(zhǎng)等于,直線l與橢圓C交于兩點(diǎn),其中直線l不過(guò)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線的斜率分別為,其中且.記的面積為S.分別以為直徑的圓的面積依次為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若點(diǎn)是函數(shù)的圖象上任意兩,且函數(shù)在點(diǎn)A和點(diǎn)B處的切線互相垂直,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.C.最大值為eD.最大值為e
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程是否與性別有關(guān),隨機(jī)抽取了選修課程的55名學(xué)生,得到數(shù)據(jù)如下表:
喜歡統(tǒng)計(jì)課程 | 不喜歡統(tǒng)計(jì)課程 | ||
男生 | 20 | 5 | |
女生 | 10 | 20 | |
(1)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)?
(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)查,將這6名學(xué)生作為一個(gè)樣本,從中任選2人,求恰有1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.
臨界值參考:
0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線焦點(diǎn)為,為拋物線上在第一象限內(nèi)一點(diǎn),為原點(diǎn),面積為.
(1)求拋物線方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于異于點(diǎn)的兩點(diǎn),,且兩直線斜率之和為,
(i)若為常數(shù),求證直線過(guò)定點(diǎn);
(ii)當(dāng)改變時(shí),求(i)中距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知圓與直線相切,點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn),軸于點(diǎn)N,且動(dòng)點(diǎn)滿足,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)P,Q是曲線C上兩動(dòng)點(diǎn),線段的中點(diǎn)為T,,的斜率分別為,且,求的取值范圍.
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