如圖，已知∠BAC在平面α內(nèi)，P∉α，∠PAB=∠PAC，求證：點(diǎn)P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．
證明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，
垂足分別為O，E，F(xiàn)，連接OE，OF，OA，
∵
PE⊥AB，PF⊥AC
∠PAE=∠PAF
PA=PA
⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF，
∵
PO⊥α
AB?α
⇒AB⊥PO，
又∵AB⊥PE，PO∩PE=P，
∴AB⊥平面PEO，
∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．
在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，
即點(diǎn)P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在梯形ABCD中，AB∥C，AD=DC=CB=1，∠ABC═60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）求二面角A-BF-C的平面角的余弦值；
（3）若點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平MAB與平FCB所成二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知α∩β=CD，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，求證CD⊥AB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，求證：AD⊥PB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，M、N分別是A1B、B1C1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直線BC1和平面A1BC所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB=2，AC=1，PA=1，求三棱錐P-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在正三棱柱ABC-A1B1C1（底面三角形ABC是正三角形的直棱柱）中，點(diǎn)D，E分別是BC，B1C1的中點(diǎn)，BC1∩B1D=F，BC=
2
BB1．求證：
（1）平面A1EC∥平面AB1D；
（2）平面A1BC1⊥平面AB1D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知平面α，β，γ，且平面α∥平面β，平面α⊥平面γ；
求證：平面β⊥平面γ

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=
2
，D是A1B1中點(diǎn)．
（1）求證C1D⊥平面AA1B1B；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．

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