如圖,在梯形ABCD中,ABC,AD=DC=CB=1,∠ABC═60°,四邊形ACFE為矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(1)求證:BC⊥平面ACFE;
(2)求二面角A-BF-C的平面角的余弦值;
(3)若點M在線段EF上運動,設(shè)平MAB與平FCB所成二面角的平面角為θ(θ≤90°),試求cosθ的取值范圍.
(1)證明:在梯形ABCD中,∵ABCD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,
∴AB=2,AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=3,
∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC,
∵平面ACFE⊥平面ABCD,
平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC?平面ABCD,
∴BC⊥平面ACFE.
(2)取FB中點G,連接AG,CG,
∵AF=
AC2+CF2
=2,∴AB=AF,∴AG⊥FB,
∵CF=CB=1,∴CG⊥FB,∴∠AGC=θ,
∵BC=CF,∴FB=
2
,∴CG=
2
2
,AG=
14
2

∴cosθ=
CG2+AG2-AC2
2CG•AG
=
7
7

(3)由(2)知:
①當(dāng)M與F重合時,cosθ=
7
7

②當(dāng)M與E重合時,過B作BNCF,且使BN=CF,
連接EN,F(xiàn)N,則平面MAB∩平面FCB,
∵BC⊥CF,AC⊥CF,∴CF⊥平面ABC,∴BN⊥平面ABC,
∴∠ABC=θ,∴θ=60°,∴cosθ=
1
2

③當(dāng)M與E,F(xiàn)都不重合時,令FM=λ,0<λ<
3
,
延長AM交CF的延長線于N,連接BN,
∴N在平面MAB與平面FCB的交線上,
∵B在平面MAB與平面FCB的交線上,
∴平面MAB∩平面FCB=BN,
過C作CH⊥NB交NB于H,連接AH,
由(1)知,AC⊥BC,
又∵AC⊥CN,∴AC⊥平面NCB,∴AC⊥NB,
又∵CH⊥NB,AC∩CH=C,∴NB⊥平面ACH,
∴AH⊥NB,∴∠AHC=θ,
在△NAC中,NC=
3
3
,
從而在△NCB中,CH=
3
(λ-
3
)2+3

∵∠ACH=90°,∴AH=
AC2+CH2
=
3
(λ-
3
)2+4
(λ-
3
)2+3
,
∴cosθ=
CH
AH
=
1
(λ-
3
)2+4

∵0<λ<
3
,
7
7
<cosθ<
1
2
,
綜上所述,cosθ∈[
7
7
1
2
].
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的所有棱長均為2,G為AF的中點.
(1)求證:F1G平面BB1E1E;
(2)求證:平面F1AE⊥平面DEE1D1;
(3)求四面體EGFF1的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點.
(1)求證:BE平面PAD;
(2)若AP=2AB,求證:BE⊥CD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,ABCD,AB=AD=1,CD=2,DE=4,M為CE的中點.
(Ⅰ)求證:BM平面ADEF:
(Ⅱ)求證:BC⊥平面BDE;
(Ⅲ)求三棱錐C-MBD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖(1)在正方形SG1G2G3中,E、F分別是邊G1G2、G2G3的中點,沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個幾何體如圖(2),使G1,G2,G3三點重合于G,下面結(jié)論成立的是( 。
A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.DG⊥平面SEF

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E為BD的中點,G為PD的中點△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=
3
2
,連接CE并延長交AD于F.
(1)求證:AD⊥平面CFG;
(2)求三棱錐P-ABD外接球的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面
ABCD.
(Ⅰ)證明:PA⊥BD
(Ⅱ)設(shè)PD=AD=1,求棱錐D-PBC的高.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

四邊形ABCD是邊長為1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1.E為BC的中點.
(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值;
(2)在線段AN上是否存在點S,使得ES⊥平面AMN?
(3)若存在,求線段AS的長;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知∠BAC在平面α內(nèi),P∉α,∠PAB=∠PAC,求證:點P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案