Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，分析新的函數(shù)的單調(diào)性，求最值，即可得的取值范圍；

（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的討論，分析求得最終結(jié)果.

（1）由題意得，

對(duì)任意恒成立.

記，

則，，

故在上單調(diào)遞增，有，

所以在上單調(diào)遞增，的最小值為，

則；

（2）依題意，對(duì)任意，有恒成立.

記，，則.

由，得，

，故.

分類討論如下：

若，則，

此處用到了經(jīng)典函數(shù)不等式和.

故在上單調(diào)遞增，有.符合題意.

若，，，

又，

由零點(diǎn)存在性定理知存在，

使得當(dāng)時(shí)，有，則在內(nèi)單調(diào)遞減，

有，則在單調(diào)遞減，

有，舍去.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.