Question

已知雙曲線2x²－2y²＝1的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為動點，若|PF₁|＋|PF₂|＝4.
(1)求動點P的軌跡E的方程；
(2)求cos∠F₁PF₂的最小值．

Answer 1

(1)依題意雙曲線方程可化為－＝1，
則|F₁F₂|＝2，
∴|PF₁|＋|PF₂|
＝4>|F₁F₂|＝2.
∴點P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，
其方程可設為＋＝1
(a>b>0)．
由2a＝4,2c＝2，
得a＝2，c＝1，
∴b²＝4－1＝3.則所求橢圓方程為＋＝1，
故動點P的軌跡E的方程為＋＝1.
(2)設|PF₁|＝m>0，
|PF₂|＝n>0，∠F₁PF₂＝θ，
則由m＋n＝4，|F₁F₂|＝2，
可知在△F₁PF₂中，
cosθ＝

略