Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M是橢圓

x2

4

+

y2

12

=1上在第一象限的點(diǎn)，A（2，0），B（0，2

3

）是橢圓兩個(gè)頂點(diǎn)，求四邊形OAMB的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)M（2cosθ，2

3

sinθ），θ∈(0，

π

2

)，四邊形OAMB的面積S=

1

2

×OA×2

3

sinθ+

1

2

×OB×2cosθ利用三角函數(shù)的有界限求出四邊形OAMB的面積的最大值．

解答： 解：∵M(jìn)是橢圓

x2

4

+

y2

12

=1上在第一象限的點(diǎn)，
∴設(shè)M（2cosθ，2

3

sinθ），θ∈(0，

π

2

)，
由題意知，OA=2，OB=2

3

，
四邊形OAMB的面積S=

1

2

×OA×2

3

sinθ+

1

2

×OB×2cosθ
=2

3

sinθ+2

3

cosθ
=2

6

sin(θ+

π

4

)，θ∈(0，

π

2

)
∴θ=

π

4

時(shí)，四邊形OAMB的面積的最大值為2

6

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓上的點(diǎn)的設(shè)法及三角函數(shù)的有界限求函數(shù)的最值，屬于一道中檔題．