已知a，b，c均為正數(shù)．
（Ⅰ）求證：a2+b2+（
1
a
+
1
b
）2≥4
2
；
（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求證：
9
a
+
4
b
+
1
c
≥100．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：利用基本不等式，即可證明結(jié)論．
解答： 證明：（Ⅰ）∵a，b均為正數(shù)，
∴a2+b2≥2ab，
1
a2
+
1
b2
≥
2
ab
，
∴a2+b2+
1
a2
+
1
b2
≥2ab+
2
ab
，
∴a2+b2+（
1
a
+
1
b
）2≥2ab+
4
ab
≥4
2
，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=
2
時(shí)，等號(hào)成立．
（Ⅱ）∵a+4b+9c=1，
∴
9
a
+
4
b
+
1
c
=（a+4b+9c）（
9
a
+
4
b
+
1
c
）=9+16+9+
4a
b
+
36b
a
+
a
c
+
81c
a
+
36c
b
+
4b
c
≥34+24+18+24=100，
當(dāng)且僅當(dāng)a=3b=9c時(shí)等號(hào)成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，掌握基本不等式的使用條件是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若復(fù)數(shù)
a+i
1+i
（a∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（　　）
A、0B、-2C、-1D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z=
i
1+i
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z（x，y）位于（　�。�
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的y=（　�。�
A、
1
2
B、1
C、-1
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在區(qū)間[-2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|2x|＜a的概率為
2
3
，則實(shí)數(shù)a=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，且滿足Tn=
3
2
Sn-3n，n∈N*．
（1）求a1的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）記bn=
2an
(an-2)2
，n∈N*，求證：b1+b2+…+bn＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sinα=
4
5
，α∈（
π
2
，π），cosβ=-
5
13
，β∈（π，
3π
2
）求cos（α+β），sin（α-β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值；
（2）若a＞2，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；
（3）若存在a∈[-2，4]，使得關(guān)于x的方程f（x）=t•f（a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M是橢圓
x2
4
+
y2
12
=1上在第一象限的點(diǎn)，A（2，0），B（0，2
3
）是橢圓兩個(gè)頂點(diǎn)，求四邊形OAMB的面積的最大值．

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