Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin

ωx+φ

2

cos

ωx+φ

2

+sin²

ωx+φ

2

（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期為π，且過(guò)點(diǎn)（

π

3

，1）
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用周期求得ω，利用已知點(diǎn)求得φ，得到函數(shù)解析式．
（2）利用x的范圍確定2x+

π

6

的范圍，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin

ωx+φ

2

cos

ωx+φ

2

+sin²

ωx+φ

2

=

3

2

sin（ωx+φ）-

1

2

cos（ωx+φ）+

1

2

=sin（ωx+φ-

π

6

）+

1

2

，
T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∵函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（

π

3

，1），
∴f（

π

3

）=sin（2•

π

3

-

π

6

+φ）+

1

2

=1，即sin（

π

2

+φ）=cosφ=

1

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴0≤sin（2x+

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域?yàn)閇0，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．要求學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的圖象能熟練掌握．