Question

設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)邊分別為a，b，c，向量

m

=（

3

cosB，sinB），

n

=（sinA，

3

cosA），若

m

•

n

=1+cos（A+B），c=2

3

．
（1）求角C的值；
（2）若a+b=4，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，代入已知等式中整理求出tan

C

2

的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）利用余弦定理表示出cosC，將c，b=4-a以及cosC的值代入計算，即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（

3

cosB，sinB），

n

=（sinA，

3

cosA），且

m

•

n

=1+cos（A+B），
∴

3

sinAcosB+

3

sinBcosA=1+cos（A+B），即

3

sin（A+B）=

3

sinC=1-cosC，
整理得：2

3

sin

C

2

cos

C

2

=2sin²

C

2

，即

3

cos

C

2

=sin

C

2

，
∴tan

C

2

=

3

，即

C

2

=

π

3

，
∴C=

2π

3

；
（2）∵c=2

3

，a+b=4，即b=4-a，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+(4-a)2-12

2a(4-a)

=-

1

2

，
解得：a=2．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．