Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-bx²在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為6x+3y-10=0．
（1）求a，b的值；
（2）如果函數(shù)f（x）=-

m

2

x²+mx-

1

3

有三個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f′（2）=-2，x=2時(shí)曲線與切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等聯(lián)立方程組求解a，b的值；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=g（x）=f（x）-（-

m

2

x²+mx-

1

3

），求其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)分析原函數(shù)的單調(diào)性，繼而求出函數(shù)的極大值和極小值，分別由極小值小于0和極大值大于0聯(lián)立不等式組求解m的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=ax³-bx²，得：f′（x）=3ax²-2bx，
∵函數(shù)f（x）=ax³-bx²在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為6x+3y-10=0，
∴f′（2）=12a-4b=-2  ①
將x=2代入切線方程得y=-

2

3

，
∴f（2）=8a-4b=-

2

3

  ②．
①②聯(lián)立，解得a=-

1

3

，b=-

1

2

；
（2）由（1）知，f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²．
令g（x）=f（x）-（-

m

2

x²+mx-

1

3

）
=-

1

3

x³+

1

2

x²+

m

2

x2-mx+

1

3

=-

1

3

x3+

m+1

2

x2-mx+

1

3

．
則g′（x）=-x²+（m+1）x-m，
由g′（x）=0，得x=1或x=m．
當(dāng)m=1時(shí)，g′（x）≤0，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
∴g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)m＜1時(shí)，x∈（-∞，m），（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，
x∈（m，1）時(shí)，g′（x）＞0，
∴函數(shù)的極小值為g（m）=-

1

3

m3+

1

2

m3+

1

2

m2-m2+

1

3

=

1

6

m3-

1

2

m2+

1

3

．
極大值為g（1）=-

1

3

+

1

2

m+

1

2

-m+

1

3

=

1

2

-

1

2

m．
要使f（x）=-

m

2

x²+mx-

1

3

有三個(gè)不同零點(diǎn)，
則

1 6 m3- 1 2 m2+ 1 3 ＜0 1 2 - 1 2 m＞0

，解得：m＜1-

3

；
當(dāng)m＞1時(shí)，x∈（-∞，1），（m，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，
x∈（1，m）時(shí)，g′（x）＞0，
∴函數(shù)的極小值為g（1）=-

1

3

+

1

2

m+

1

2

-m+

1

3

=

1

2

-

1

2

m．
極大值為g（m）=-

1

3

m3+

1

2

m3+

1

2

m2-m2+

1

3

=

1

6

m3-

1

2

m2+

1

3

．
要使f（x）=-

m

2

x²+mx-

1

3

有三個(gè)不同零點(diǎn)，
則

1 2 - 1 2 m＜0 1 6 m3- 1 2 m2+ 1 3 ＞0

，解得：m＞1+

3

．
綜上，使f（x）=-

m

2

x²+mx-

1

3

有三個(gè)不同零點(diǎn)的m的范圍是(-∞，1-

3

)∪(1+

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，是壓軸題．