Question

已知曲線C₁的參數(shù)方程為

x= 2 cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π）
（Ⅰ）求曲線C₁與C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)曲線C₁與C₂的交點(diǎn)為A，B，線段AB上兩點(diǎn)C，D，且|AC|=|BD|=

2

2

，P為曲線C₁上的點(diǎn)，求|PC|+|PD|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,圓的參數(shù)方程

專題：計(jì)算題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）直接化圓的參數(shù)方程為普通方程，化直線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，然后化為極坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)出C，D的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出C，D的坐標(biāo)，再由連點(diǎn)間的距離公式得到|PC|+|PD|=

5 2 -2sin(θ+ π 4 )

+

5 2 +2sin(θ+ π 4 )

．由基本不等式得到最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由

x= 2 cosθ y= 2 sinθ

，得x²+y²=2．
由ρcosθ-ρsinθ=0，得x-y=0．
聯(lián)立

y=x x2+y2=2

，解得：x=±1．
∴曲線C₁與C₂交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），（-1，-1）．
∵ρ≥0，0≤θ＜2π，
∴曲線C₁與C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(

2

，

π

4

)，(

2

，

5π

4

)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A（1，1），B（-1，-1）．
設(shè)C（m，m），D（n，n），
由C，D在線段AB上，且|AC|=|BD|=

2

2

，得：
C(

1

2

，

1

2

)，D(-

1

2

，-

1

2

)．
∴|PC|+|PD|=

( 2 cosθ- 1 2 )2+( 2 sinθ- 1 2 )2

+

( 2 cosθ+ 1 2 )2+( 2 sinθ+ 1 2 )2

=

5 2 -2sin(θ+ π 4 )

+

5 2 +2sin(θ+ π 4 )

．
∴(|PC|+|PD|)2=(

5 2 -2sin(θ+ π 4 )

+

5 2 +2sin(θ+ π 2 )

)2
≤2(

5

2

-2sin(θ+

π

4

)+

5

2

+2sin(θ+

π

2

))=10．
∴|PC|+|PD|≤

10

．
當(dāng)且僅當(dāng)θ=

3

4

π或

7

4

π時(shí)取到“=”號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查了極坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．