【題目】某公司印制了一批文化衫,每件文化衫可有紅、黃、藍(lán)三種不同的顏色和四種不同的圖案.現(xiàn)將這批文化衫分發(fā)給名新員工,每名員工恰好分到圖案不同的4.試求的最小值,使得總存在兩個(gè)人,他們所分到的某兩種圖案的4件文化衫的顏色全部相同.

【答案】19

【解析】

的最小值為19.

當(dāng)時(shí),表1所示的答題情形不符合要求.

表1

p>

(1)

(2)

(3)

(4)

【注】表l中(1)、(2)、(3)、(4)為圖案,為員工,、、分別表示紅、黃、藍(lán)三種顏色.

下面證明:當(dāng)時(shí),必存在兩個(gè)人滿足要求.

事實(shí)上,把所有人的文化衫的顏色和圖案如上制成表格,若存在兩個(gè)人的某兩種圖案的4件文化衫的顏色全部相同,則必存在一個(gè)矩形子表,這個(gè)子表四個(gè)角的方格中的字母(顏色)相同.

若對于某個(gè)顏色(以紅色為例),設(shè)分到件紅色文化衫.則當(dāng)時(shí)(約定當(dāng)時(shí),),必存在四個(gè)角都是的矩形.這是因?yàn)椋紤]每一列兩個(gè)構(gòu)成的“對子”,一共只有如表2所示的6種.當(dāng)時(shí),必有兩列會(huì)出現(xiàn)相同的對子,從而,必有四個(gè)角都是的矩形.

表2

當(dāng)時(shí),任取其中19個(gè)人,他們的所有文化衫的顏色中,至少有一種顏色出現(xiàn)了不少于(次),不妨設(shè)為紅色.

設(shè)其中分到為非負(fù)整數(shù))件紅色文化衫.則.

由調(diào)整法易知,當(dāng)取最小值時(shí),對任意,有.

注意到,則在中有19個(gè)1和7個(gè)2時(shí),取得最小值.

這表明,當(dāng)時(shí),必存在四個(gè)角都是同一個(gè)字母的矩形子表.

綜上,所求的最小值為19.

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1)請完成列聯(lián)表;

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計(jì)

男生

40

女生

30

合計(jì)

100

2)根據(jù)列聯(lián)表,是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)?并說明你的理由.

附:參考公式與臨界值表如下:

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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