已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<
π
2
)的圖象與x軸的交點(diǎn)中,相鄰兩交點(diǎn)之間的距離為
π
2
,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M(
3
,-2).
(1)求f(x)的解析式;
(2)X∈[
π
12
,
12
]時(shí),若方程f(x)-m=0恰好有兩個(gè)不同的根x1,x2,求m的取值范圍及x1+x2的值.
考點(diǎn):由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)利用已知相鄰兩交點(diǎn)的距離求得函數(shù)的最小正周期,根據(jù)最低點(diǎn)坐標(biāo)求得振幅A和φ,進(jìn)而得出函數(shù)的圖象.
(2)利用數(shù)形結(jié)合的思想,畫出三角函數(shù)的圖象,要使方程f(x)-m=0恰好有兩個(gè)不同的根,即時(shí)直線y=m與三角函數(shù)圖象在此范圍內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn),進(jìn)而求得m的范圍,通過圖象可知,兩根即直線與函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)連線的中點(diǎn)恰是三角函數(shù)兩個(gè)相鄰零點(diǎn)連線的中點(diǎn)進(jìn)而求得其值.
解答: 解:(1)由已知條件得
T
2
=
π
2
,A=2,
∴T=π,ω=
T
=2,
∴f(x)=2sin(2x+φ),
∵f(
3
)=2sin(
3
+φ)=-2,
3
+φ=
2
+2kπ,即φ=2kπ+
π
6
,k∈Z,
∵0<φ<
π
2
,
∴φ=
π
6
,
∴函數(shù)解析式為f(x)=2sin(2x+
π
6
).
(2)根據(jù)(1)知f(x)=2sin(2x+
π
6
).其在一個(gè)周期上圖象為

如圖當(dāng)0<m<2時(shí),函數(shù)y=m與函數(shù)y=2sin(2x+
π
6
)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),且兩個(gè)交點(diǎn)連線的中點(diǎn)恰是點(diǎn)(-
π
12
,0)和(
12
,0)連線的中點(diǎn),
∴x1+x2=
-
π
12
+
12
2
=
π
6

綜合可知m的取值范圍是(0,2)及x1+x2=
π
6
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).用數(shù)形結(jié)合的思想較為直觀.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)x,y滿足約束條件
x≥2
3x-y≥1
y≥x+1
,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最小值為2,則4a+8b的最小值為( 。
A、2
B、2
2
C、4
D、4
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,直線x-2y+4=0與C交于A、B兩點(diǎn),則sin∠AFB=( 。
A、
4
5
B、
3
5
C、
3
4
D、
5
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a2+b2=1,c2+d2=1.
(Ⅰ)求證:ab+cd≤1.
(Ⅱ)求a+
3
b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某電視臺(tái)對(duì)什么年齡段的人更關(guān)注“2014兩會(huì)話題”情況進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)采訪了50人,受訪者的年齡頻數(shù)分布及關(guān)注“兩會(huì)話題”的人數(shù)如下表:
年齡(單位:歲) [0,18) [18,26) [26,31) [31,36) [36,40) [40,80)
受訪人數(shù) 6 15 10 9 5 5
關(guān)注“兩會(huì)話題”人數(shù) 3 13 7 6 2 1
(Ⅰ)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,并回答是否有97.5%的把握認(rèn)為年齡以36歲為分界點(diǎn)的市民對(duì)“兩會(huì)話題”的關(guān)注度有差異?
  36歲以下 36歲以上(含36歲) 合計(jì)
關(guān)注“兩會(huì)”      
不關(guān)注“兩會(huì)”      
合計(jì)      
附:下面的臨界值表供參考:
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(參考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d)
(Ⅱ)若從年齡在[36,40)歲的受訪對(duì)象中隨機(jī)選取三人進(jìn)行調(diào)查,求至少有一人關(guān)注“”兩會(huì)話題”的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊上有一動(dòng)點(diǎn)P,沿著折線BCDA由點(diǎn)B起(起點(diǎn))向點(diǎn)A(終點(diǎn))運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,△APB的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出程序.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=A1B1=4,D、E分別為AA1與A1B1的中點(diǎn).
(1)求異面直線C1D與BE的夾角;
(2)求四面體BDEC1體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x的不等式
x+2
m
>1+
x-5
m2

(1)解這個(gè)不等式;
(2)當(dāng)此不等式的解集為{x|x>5}時(shí),求實(shí)數(shù)m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x+1

(1)證明f(x)在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù);
(2)求f(x)在區(qū)間[4,6]上的最大值和最小值.

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