已知a2+b2=1，c2+d2=1．
（Ⅰ）求證：ab+cd≤1．
（Ⅱ）求a+
3
b的取值范圍．
考點：不等式的證明
專題：綜合題,不等式的解法及應用
分析：（Ⅰ）利用綜合法，結合基本不等式，即可得出結論；
（Ⅱ）設
m
=（a，b），
n
=（1，
3
），利用|
m
?
n
|≤|
m
|?|
n
|，可求a+
3
b的取值范圍．
解答： （I）證明：∵a2+b2≥2ab，c2+d2≥2cd，
∴a2+b2+c2+d2≥2（ab+cd），當且僅當a=b=c=d=
2
2
時取“=”…（2分）
又∵a2+b2=1，c2+d2=1
∴2（ab+cd）≤2                                  …（4分）          
∴ab+cd≤1                                     …（5分）
（Ⅱ）解：設
m
=（a，b），
n
=（1，
3
），
∵|
m
?
n
|≤|
m
|?|
n
|，…（8分）
∴|a+
3
b|≤2
a2+b2
=2，
∴-2≤a+
3
b≤2
∴a+
3
b的取值范圍為[-2，2]．                   …（10分）
點評：本題考查不等式的證明，考查求a+
3
b的取值范圍，正確運用基本不等式，合理構造向量是關鍵．
練習冊系列答案
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數(shù)列{an}的前n項為Sn，且Sn=2an-1，n∈N*，使得
aman
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1
m
+
9
n
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x2
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π
6
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1
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π
2
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π
2
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2π
3
，-2）．
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π
12
，
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12
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