如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=A1B1=4，D、E分別為AA1與A1B1的中點．
（1）求異面直線C1D與BE的夾角；
（2）求四面體BDEC1體積．
考點：異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）首先，過點D作DF∥BE交AB于點F，連結(jié)FC1得到∠C1DF即所求異面直線所成角（或補角），然后，在△C1DF中根據(jù)余弦定理求解該角即可；
（2）先求解△BDE的面積，然后，結(jié)合四面體BDEC1體積公式進行求解．
解答： 解：（1）過點D作DF∥BE交AB于點F，連結(jié)FC1，
∴∠C1DF即所求異面直線所成角（或補角），
解得DC1=
20
=2
5
，
DF=
22+12
=
5
，
∴FC=
AC2+AF2-2AC•AFcos60°

=
42+12-2×4×1×
1
2

=
13
，
又CC1=4，
∴FC1=
FC2+C
C
2
1
=
29
，
由余弦定理，有
cos∠C1DF=
D
C
2
1
+DF2-F
C
2
1
2DC1•DF
=-
1
5
．
∴異面直線C1D與BE的夾角為arccos
1
5
．

（2）DE=2
2
，BD=2
5
，△BDE的高為3
2
，
∴S△BDE=
1
2
×2
2
×3
2
=6，
∴△BDE的面積為6，
∵△A1B1C1為等邊三角形，E為A1B1中點，
∴C1E=
42-22
=2
3
，
∴高為C1E=2
3
，
∴四面體BDEC1體積V=
1
3
×6×2
3
=4
3
．
∴四面體BDEC1體積4
3
．
點評：本題重點考查了空間中點線面的位置關(guān)系、空間角、體積計算等知識，考查空間想象能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，c=18，b=12，C=60°，則cosB=（　�。�
A、
2
2
3
B、
6
3
C、
3
3
D、-
6
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=4cosx•sin（x+
π
6
）+a的最大值為2．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜
π
2
）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩交點之間的距離為
π
2
，且圖象上一個最低點為M（
2π
3
，-2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）X∈[
π
12
，
7π
12
]時，若方程f（x）-m=0恰好有兩個不同的根x1，x2，求m的取值范圍及x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在一次招聘考試中，有12道備選題，其中8道A類題，4道B類題，每位考生都要在其中隨機抽出3道題回答
（Ⅰ）求某考生所抽到的3道題都是A類題的概率；
（Ⅱ）求所抽到的3道題不是同一類題的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知4sin2α-3sinαcosα-5cos2α=1，α是第四象限角，求tan（
3π
2
-α）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某班學(xué)生舉行娛樂活動，準(zhǔn)備了5張標(biāo)有1，2，3，4，5的外表完全相同的卡片，規(guī)定通過游戲來決定抽獎機會，每個獲得抽獎機會的同學(xué)，一次從中任意抽取2張卡片，兩個卡片中的數(shù)字之和為5時獲一等獎，兩個卡片中的數(shù)字之和能被3整除時獲二等獎，其余情況均沒有獎，現(xiàn)有某同學(xué)獲得一次抽獎機會．
（Ⅰ）求該同學(xué)獲得一等獎的概率；
（Ⅱ）求該同學(xué)不獲獎的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=
3
5
．
（1）求b的值；
（2）求sinC的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b、c分別為△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊，若
b2+c2-a2
bc
=1，
c
b
=
1
2
+
3
，則tanB=
 
．

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