Question

3．已知$\frac{π}{2}$＜α＜π，0＜β＜$\frac{π}{2}$＜α＜π，tanα=-$\frac{3}{4}$，cos（β-α）=$\frac{5}{13}$，求sinβ的值．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinα，cosα，求得β-α的范圍，利用已知及同角三角函數(shù)基本關系式可求sin（β-α），利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可計算得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：∵$\frac{π}{2}＜α＜π$，且$tanα=-\frac{3}{4}$，
∴sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=-$\frac{4}{5}$；
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴-α∈（-π，-$\frac{π}{2}$），β-α∈（-π，0），
  又∵cos（β-α）=$\frac{5}{13}$，
∴sin（β-α）=$\sqrt{1-（\frac{5}{13}）^{2}}$=-$\frac{12}{13}$，
∴sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα=（-$\frac{12}{13}$）×（-$\frac{4}{5}$）+$\frac{5}{13}×\frac{3}{5}$=$\frac{63}{65}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．