Question

8．設(shè)f（x）=alnx+$\sqrt{x}$-1，
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）證明：當(dāng)a=1，x＞1時，f（x）＜$\frac{3}{2}$（x-1）．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的定義域，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）（證法一）設(shè)g（x）=lnx+$\sqrt{x}$-1-$\frac{3}{2}$（x-1），求導(dǎo)，．當(dāng)x＞1時，g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{3}{2}$＜0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，由g（1）=0，g（x）＜0，即f（x）＜$\frac{3}{2}$（x-1）；
（證法二）x＞1時，$\sqrt{x}$＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，令k（x）=lnx-x+1，求導(dǎo)k′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0，k（x）＜0，即lnx＜x-1，可證，x＞1時，f（x）＜$\frac{3}{2}$（x-1）．

解答 解：（1）定義域為（0，+∞），求導(dǎo)，$f'（x）=\frac{a}{x}+\frac{1}{2}{x^{-\frac{1}{2}}}$=$\frac{{2a+\sqrt{x}}}{2x}$…（2分）
當(dāng)a≥0時，f'（x）＞0
當(dāng)a＜0時，令f'（x）＞0，解得x＞4a²；
令f'（x）＜0，0＜x＜4a²…（5分）
綜上所述：當(dāng)a≥0時，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)a＜0時，f（x）的遞增區(qū)間為（4a²，+∞），f（x）的遞減區(qū)間為（0，4a²）…（6分）
（2）證明：（證法一）記g（x）=lnx+$\sqrt{x}$-1-$\frac{3}{2}$（x-1）．
則當(dāng)x＞1時，g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{3}{2}$＜0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
又g（1）=0，有g(shù)（x）＜0，即f（x）＜$\frac{3}{2}$（x-1）．…（14分）
（證法二）
由均值不等式，當(dāng)x＞1時，2$\sqrt{x}$＜x+1，故$\sqrt{x}$＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$．①
令k（x）=lnx-x+1，則k（1）=0，k′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0，
故k（x）＜0，即lnx＜x-1．②
由①②得，當(dāng)x＞1時，f（x）＜$\frac{3}{2}$（x-1）．…（14分）

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查導(dǎo)數(shù)的運算法則及基本不等式的性質(zhì)，考查分類討論思想，屬于中檔題．