Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)．

（1）求過點(diǎn)的切線方程（用表示）；

（2）過直線上一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，求與（為拋物線的頂點(diǎn)）面積之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）

（2）3

【解析】

（1）設(shè)出切線方程，聯(lián)立拋物線方程后化簡(jiǎn)，并令；將點(diǎn)帶入拋物線方程，聯(lián)立后求得，代入直線方程即可求得切線方程.

（2）設(shè)，，結(jié)合（1）中的結(jié)論表示出和的方程，進(jìn)而可得的方程，確定所過定點(diǎn)坐標(biāo)；聯(lián)立和拋物線方程，由韋達(dá)定理表示出，，進(jìn)而表示出，結(jié)合基本不等式即可求得最小值.

（1）設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，

則聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)可得，

因?yàn)橹本�與拋物線相切，則，得，

而為拋物線上一點(diǎn)，則，

代入可得，得，

，即，

即切線方程為．

（2）設(shè)，，

由（1）可知切線的方程為，的方程為，

又均過，

，，

故的方程為，由此可得恒過定點(diǎn)，

由得，

，

設(shè)，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立

的最小值為3．