【題目】已知橢圓：（）的左焦點為，其中四個頂點圍成的四邊形面積為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點的直線與曲線交于，兩點，設(shè)的中點為，，兩點為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，且（），求四邊形面積的最小值.

【答案】(1)；(2)4

【解析】

（1）將四邊形面積表示為的代數(shù)式，結(jié)合焦點坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，求解即可；

（2）設(shè)出直線的方程，利用弦長公式求得，再利用，建立直線與之間的聯(lián)系，再利用點到直線的距離，以及面積公式，將四邊形面積表示為函數(shù)形式，求該函數(shù)的最小值即可.

（1）因為左焦點為，故可得；

因為四個頂點圍成的四邊形面積為，故可得.

聯(lián)立，

解得

故橢圓方程為.

（2）因為，故兩點不可能重合，

則直線的斜率不可能為0，

故可設(shè)直線方程為，

聯(lián)立橢圓方程，

可得，

設(shè)兩點坐標(biāo)分別為，

則可得，

則

故可得，

因為，故可得四點共線，

故可得.

不妨設(shè)直線方程為，，

聯(lián)立直線與橢圓方程

可得，

設(shè)，

則，即

則，即

則點到直線的距離為：

將代入上式即可得：

，，

故

又根據(jù)弦長公式可得：

故四邊形面積

，

因為，故可得，

當(dāng)且僅當(dāng)時，四邊形面積取得最小值4.

故四邊形面積的最小值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“共享單車”的出現(xiàn)，為我們提供了一種新型的交通方式。某機構(gòu)為了調(diào)查人們對此種交通方式的滿意度，從交通擁堵不嚴(yán)重的A城市和交通擁堵嚴(yán)重的B城市分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如圖：

（1）根據(jù)莖葉圖，比較兩城市滿意度評分的平均值的大小及方差的大小（不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可）；

（2）若得分不低于80分，則認(rèn)為該用戶對此種交通方式“認(rèn)可”，否則認(rèn)為該用戶對此種交通方式“不認(rèn)可”，請根據(jù)此樣本完成此2×2列聯(lián)表，并據(jù)此樣本分析是否有95%的把握認(rèn)為城市擁堵與認(rèn)可共享單車有關(guān)；

A

B

合計

認(rèn)可

不認(rèn)可

合計

（3）在A，B城市對此種交通方式“認(rèn)可”的用戶中按照分層抽樣的方法抽取6人，若在此6人中推薦2人參加“單車維護”志愿活動，求A城市中至少有1人的概率。

參考數(shù)據(jù)如下：（下面臨界值表供參考）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，.

（1）求出函數(shù)在R上的解析式；

（2）畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出的單調(diào)區(qū)間．

（3）求使時的的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若與相交于兩點，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量中的應(yīng)用，英國天文學(xué)家普森()又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足.其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，則與最接近的是(當(dāng)較小時， )

A.1.24B.1.25C.1.26D.1.27

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在統(tǒng)計調(diào)查中，問卷的設(shè)計是一門很大的學(xué)問，特別是對一些敏感性問題.例如學(xué)生在考試中有無作弊現(xiàn)象，社會上的偷稅漏稅等.更要精心設(shè)計問卷.設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能夠如實回答問題，否則被調(diào)查者往往會拒絕冋答，或不提供真實情況，為了調(diào)查中學(xué)生中的早戀現(xiàn)象，隨機抽出300名學(xué)生，調(diào)查中使用了兩個問題.①你的學(xué)籍號的最后一位數(shù)是奇數(shù)（學(xué)籍號的后四位是序號）；②你是否有早戀現(xiàn)象，讓被調(diào)查者從裝有4個紅球，6個黑球（除顏色外完全相同）的袋子中隨機摸取兩個球.摸到兩球同色的學(xué)生如實回答第一個問題，摸到兩球異色的學(xué)生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不放，后來在盒子中收到了78個小石子.

（1）你能否估算出中學(xué)生早戀人數(shù)的百分比？

（2）若從該地區(qū)中學(xué)生中隨機抽取一個班（40人），設(shè)其中恰有個人存在早戀的現(xiàn)象，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）若在區(qū)間，上的最小值為1，求的值；

（Ⅱ）若“，使”為假命題，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）x+1，x∈R.

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期并寫出函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程和對稱中心；

（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，求的最小值.

（Ⅱ）若在區(qū)間上有兩個極值點，

（i）求實數(shù)的取值范圍；

（ii）求證：.

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