【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)若在區(qū)間,上的最小值為1,求的值;

(Ⅱ)若“,使”為假命題,求的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)求得函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性,求函數(shù)的極值即最值,由題意知, 函數(shù)的最小值只能在處取得,分別解方程求解即可.

(Ⅱ)若“,使”為假命題,等價于,為真命題,即恒成立,通過分離參數(shù)法和構造函數(shù)法,,結合導數(shù)判斷函數(shù)的單調性,由零點存在性定理求出函數(shù)的最小值,進而求出實數(shù)的取值范圍即可.

(Ⅰ)由題意知,函數(shù)的導數(shù)為,

所以當時,,單調遞增,

時,,單調遞減,

所以當有極大值即最大值,

即有的最小值只能在處取得.

1,解得,此時與函數(shù)最小值為1相矛盾,

不符合題意

e,解得,此時符合題意;

綜上可知;

(Ⅱ)若“,使”為假命題,

,為真命題,

等價于,可得恒成立,

化簡可得恒成立,

,則,

,則上單調遞增,

因為,,

由零點存在性定理知,函數(shù)存在唯一零點,

即有,則

兩邊同時取以為底的對數(shù)可得,,

所以當時,,即,單調遞減,

時,,即,單調遞增,

所以當時,函數(shù)有極小值即最小值,

,

所以實數(shù)的取值范圍為

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消費金額/萬盧布

合計

顧客人數(shù)

9

31

36

44

62

18

200

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