如圖,在幾何體中,,,,且,.
(I)求證:;
(II)求二面角的余弦值.
(1)證明過程詳見解析;(2).
解析試題分析:本題主要考查幾何體中的線線平行與垂直的判定、線面平行與垂直的判定,以及空間向量法求二面角等數(shù)學(xué)知識,考查空間想象能力和邏輯思維能力,考查基本計算能力.第一問,利用已知的邊長,得出與相似,從而得到與垂直,利用面面垂直的性質(zhì)定理得面,作出輔助線和及,通過條件可得,最后利用線面平行的判定證明平面;第二問,利用已知的垂直關(guān)系,建立如圖的空間直角坐標系,寫出各點的坐標,關(guān)鍵是求出平面和平面的法向量,利用夾角公式求出余弦值.
試題解析:(I)
又 ,
過點作,垂足為,則,且, 2分
過作,交于,過作交于,連結(jié),
∵,∴,∴四邊形是平行四邊形,
,
6分
(II)如圖建立空間直角坐標系,則
A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,2),
C(1,1,),=(0,﹣2,2),=(1,﹣1,), 8分
設(shè)平面CDE的一個法向量為=(x,y,z),
則有,則﹣2y+2z=0,x﹣y+z=0,
取z=2,則y=2,x=0,所以=(0,2,2), 10分
平面AEC的一個法向量為=(﹣2,2,0), 11分
故cos<,>= 12分
考點:1.相似三角形;2.線面垂直的判定;3.線面平行的判定;4.空間向量法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形,側(cè)面AA1C1C是正方形, E是的中點,F是棱CC1上的點.
(1)當(dāng)時,求正方形AA1C1C的邊長;
(2)當(dāng)A1F+FB最小時,求證:AE⊥平面A1FB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)在線段上是否存在點?使得二面角的大小為60°,若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)面底面,且△PAD為等腰直角三角形,,E、F分別為PC、BD的中點.
(1)求證:EF//平面PAD;
(2)求證:平面平面 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD,M為PC中點.求證:
(1)PA∥平面MDB;
(2)PD⊥BC.
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