如圖,四棱錐中,底面為梯形,, ,平面,的中點(diǎn)

(Ⅰ)證明:
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值

(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)二面角的余弦值

解析試題分析:(Ⅰ)證明:,在立體幾何中,證明線線垂直,往往轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,從而得線線垂直,本題可利用線面垂直的判定定理,可先證明平面,即證垂直平面內(nèi)的兩條相交直線即可,由題意平面,即,在平面內(nèi)再找一條垂線即可,由已知,,由余弦定理求出,從而可得,即,從而可證,即得平面;然后利用線面垂直的性質(zhì)可得;(Ⅱ)求二面角的余弦值,可建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求二面角的大小,本題由(Ⅰ)可知,故以以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出兩個(gè)半平面的法向量,利用法向量的性質(zhì),求出兩個(gè)半平面的法向量,利用法向量來求平面與平面的夾角的余弦值.
試題解析:(Ⅰ)由余弦定理得BD==
∴BD2+AB2=AD2,∴∠ABD=90°,BD⊥AB,∵AB∥DC, ∴BD⊥DC
∵PD⊥底面ABCD,BDÌ底面ABCD,∴BD⊥PD
又∵PD∩DC=D,  ∴BD⊥平面PDC,又∵PCÌ平面PDC, ∴BD⊥PC         (6分)

(Ⅱ)已知AB=1,AD=CD=2,PD=,
由(Ⅰ)可知BD⊥平面PDC.
如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DB為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,則
D(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),P(0,0,),M(0,1,).
=(,0,0),=(0,1,),=(0,-2,),=(,-2,0) (7分)
設(shè)平面BDM的法向量=(x,y,z),則
x=0,y+z=0,令z=, ∴取=(0,-1,)       (8分)
同理設(shè)平面BPM的法向量為=(a,b,c),則
=(,1,)            (10分)
∴cos<,> ==-             (11分)
∴二面角D-BM-P的余弦值大小為.          (12分)
考點(diǎn):用空間向量求平面間的夾角;直線與平面垂直的性質(zhì);二面角的平面角及求法.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在幾何體中,,,,且,.

(I)求證:;
(II)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,,四邊形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,H是CF的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)求直線DH與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2.點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為D1C的中點(diǎn).

(1)當(dāng)E點(diǎn)是AB中點(diǎn)時(shí),求證:直線ME‖平面ADD1 A1;
(2)若二面角AD1EC的余弦值為.求線段AE的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,四棱錐中,底面是直角梯形,平面,,分別為的中點(diǎn),.

(1)求證:
(2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

(1)求證:∥平面;
(2)求異面直線所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)在三棱柱中,側(cè)面為矩形,,,的中點(diǎn),交于點(diǎn)側(cè)面.

(1)證明:;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖在正三棱錐P-ABC中,側(cè)棱長(zhǎng)為3,底面邊長(zhǎng)為2,E為BC的中點(diǎn),

(1)求證:BC⊥PA
(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在三棱錐中,平面,,為側(cè)棱上一點(diǎn),它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示.

(1)證明:平面;
(2)在的平分線上確定一點(diǎn),使得平面,并求此時(shí)的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案