如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形,側面AA1C1C是正方形, E是的中點,F是棱CC1上的點.

(1)當時,求正方形AA1C1C的邊長;
(2)當A1F+FB最小時,求證:AE⊥平面A1FB.

(1)2;(2)參考解析

解析試題分析:(1)依題意可得△EAB的面積為定值,點F到平面EAB的距離為定值即為點C到平面平面的距離.又因為△ABC為正三角形,側面AA1C1C是正方形,所以假設正方形AA1C1C為x,再根據(jù)等式,即可求出結論.
(2)因為當A1F+FB最小時,即需要將三棱柱的側面展開,通過計算得到符合條件的F為中點.由線面垂直的判斷定理,轉化為線線垂直,由條件的即可證得.解(二)通過線段長的計算得到直角三角形,從而得到線與線垂直,也可行.
試題解析:(1)設正方形AA1C1C的邊長為由于E是的中點,△EAB的面積為定值.
∥平面,點F到平面EAB的距離為定值即為點C到平面平面的距離
,且=.即,
(2)解法一:將側面展開到側面得到矩形,連結,交于點,此時點使得最小.此時平行且等于的一半,

的中點.
取AB中點O,連接OE,EF,OC,為平行四邊形,

△ABC為正三角形,,又平面ABC,,且,平面,平面,
,又,由于E是的中點,所以,又,
所以直線AE與平面垂直
解法二:將側面展開到側面得到矩形,連結,交于點,此時點使得最小.此時平行且等于的一半,的中點.
過點,則的中點,.
過點,則
于是在中,

練習冊系列答案
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如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,G、H分別為DC、BC的中點.

(1)求證:平面FGH∥平面BDE;
(2)求證:平面ACF⊥平面BDE.

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如圖,四棱錐中,,分別為、的中點,.

(1)證明:∥面;
(2)證明:

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(1)求證:;
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(1)求證:AB∥平面CDE
(2)求證:平面ABCD⊥平面ADE.

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(2)求證:BFBD.

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如圖,在四棱錐O ­ABCD中,底面ABCD為菱形,OA⊥平面ABCD,E為OA的中點,F(xiàn)為BC的中點,求證:(1)平面BDO⊥平面ACO;(2)EF∥平面OCD.

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如圖,在幾何體中,,,且,.

(I)求證:;
(II)求二面角的余弦值.

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