【題目】已知函數(shù), .

(1)求過點的切線方程;

(2)當時,求函數(shù)的最大值;

(3)證明:當時,不等式對任意均成立(其中為自然對數(shù)的底數(shù), ).

【答案】(1),(2)當時, 的最大值為;

時, 的最大值為;(3)見解析

【解析】試題分析:(1)設(shè)出切點坐標,表示出切線方程,代入點的坐標,求出切線方程即可;

(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出F(x)的最大值即可;

(3)問題可化為m>(x2ex+lnx﹣x,設(shè),要證m﹣3時mh(x)對任意均成立,只要證hxmax﹣3,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

試題解析:

解:(1)設(shè)切點坐標為,則切線方程為,

代入上式,得, ,

∴切線方程為;

(2)當時, , ,

, ,

時, ,當時,

遞增,在遞減,

∴當時, 的最大值為;

時, 的最大值為;

3可化為

設(shè), ,要證對任意均成立,只要證,下證此結(jié)論成立.

,∴當時, ,

設(shè),則,遞增,

又∵在區(qū)間上的圖象是一條不間斷的曲線,

, ,

使得,即,

時, ;當時, , ;

∴函數(shù)遞增,在遞減,

遞增,∴,即,

∴當時,不等式對任意均成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓

)求的方程.

)設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于、兩點,若直線與直線的斜率的和為,

證明: 過定點.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列1,12,1,2,4,1,24,8,1,2,4,816, ,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,2122,依此類推. 設(shè)該數(shù)列的前項和為,

規(guī)定:若 ,使得 ),則稱為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”.

Ⅰ)將該數(shù)列的佳冪數(shù)從小到大排列,直接寫出前3佳冪數(shù)

Ⅱ)試判斷50是否為佳冪數(shù),并說明理由;

III)(i求滿足>70的最小的佳冪數(shù);

ii)證明:該數(shù)列的佳冪數(shù)有無數(shù)個.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù), .

(1)當時,求在點的切線方程;

(2)若對 恒成立,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市教育局對該市普通高中學(xué)生進行學(xué)業(yè)水平測試,試卷滿分120分,現(xiàn)從全市學(xué)生中隨機抽查了10名學(xué)生的成績,其莖葉圖如下圖所示:

(1)已知10名學(xué)生的平均成績?yōu)?8,計算其中位數(shù)和方差;

(2)已知全市學(xué)生學(xué)習(xí)成績分布服從正態(tài)分布,某校實驗班學(xué)生30人.

①依據(jù)(1)的結(jié)果,試估計該班學(xué)業(yè)水平測試成績在的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果四舍五入取整數(shù));

②為參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)知識競賽,該班決定推薦成績在的學(xué)生參加預(yù)選賽若每個學(xué)生通過預(yù)選賽的概率為,用隨機變量表示通過預(yù)選賽的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

正態(tài)分布參考數(shù)據(jù):

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性,并寫出詳細過程;

(2)若上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面為正三角形,且平面 平面, 中點, .

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)若二面角的平面角大小滿足,求四棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),記.

(1)求證: 在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實數(shù);

(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實根,記內(nèi)的實根為.求證: .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在銳角三角形中,分別為內(nèi)角所對的邊,且滿足.

1)求角的大;

2)若,且,求的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案