Question

【題目】已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推. 設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為,

規(guī)定：若 ,使得（ ），則稱為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”.

（Ⅰ）將該數(shù)列的“佳冪數(shù)”從小到大排列，直接寫出前3個(gè)“佳冪數(shù)”；

（Ⅱ）試判斷50是否為“佳冪數(shù)”，并說(shuō)明理由；

（III）（i）求滿足>70的最小的“佳冪數(shù)”;

（ii）證明：該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1，2，3；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（III）（i）95；（ii）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1) (2)先根據(jù)題意確定前9項(xiàng)有45個(gè)數(shù)，所以，不能表示為，因此不是“佳冪數(shù)”（3）（i）因?yàn)?/span>，所以， 結(jié)合條件確定t的最小值，解得最小的“佳冪數(shù)”（ii）由得“佳冪數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)

試題解析：（Ⅰ）1，2，3；

（Ⅱ）由題意可得，數(shù)列如下：

第1組:1，第2組:1,2；第3組：1,2,4； 第k組： .

則該數(shù)列的前項(xiàng)的和為:

，①

當(dāng)時(shí)， ，

則 ，

由于，對(duì) ， ，故50不是“佳冪數(shù)”.

（III）（i）在①中，要使，有，

此時(shí)，

所以是第組等比數(shù)列的部分項(xiàng)的和，

設(shè)

所以，則，此時(shí)，

所以對(duì)應(yīng)滿足條件的最小“佳冪數(shù)”.

（ii）由（i）知：

當(dāng)，且取任意整數(shù)時(shí)，可得“佳冪數(shù)”，

所以，該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè).