Question

【題目】已知函數(shù)，記.

（1）求證： 在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實數(shù)；

（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實根，記在內(nèi)的實根為.求證： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理證出結(jié)論即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為證明x1+x2＞2x0，根據(jù)m（x）在（x0，+∞）上遞減，即證明m（m2）＜m（2x0﹣x1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解析：

（1），定義域為， ，當時， 在上單調(diào)遞增，又，而在上連續(xù)，根據(jù)零點存在定理可得： 在區(qū)間有且僅有一個實根.

（2）當時， ，而，故此時有，由（1）知， 在上單調(diào)遞增，有為在內(nèi)的實根，所以，故當時， ，即；

當時， ，即.因而，

當時， ，因而在上遞增；

當時， ，因而在上遞減；

若方程在有兩不等實根，則滿足

要證： ，即證： ，即證： ，

而在上遞減，即證： ，又因為，即證： ，即證：

記，由得： .

， ，則，當時， ；當時， .

故，所以當時， ,

,

因此，

即在遞增.從而當時， ，即，

故得證.