【題目】已知函數(shù).
(1)確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性,并寫(xiě)出詳細(xì)過(guò)程;
(2)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律,進(jìn)而確定單調(diào)性(2)調(diào)整不等式為在上恒成立.再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性:當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,最大值趨于正無(wú)窮 ,不符題意;當(dāng)時(shí),函數(shù)先增再減,最大值為,滿足題意;當(dāng)時(shí),最大值大于,不符題意
試題解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
令,則有,
令,解得,
所以在上, , 單調(diào)遞增,在上, , 單調(diào)遞減.
又,所以在定義域上恒成立.
即在定義域上恒成立,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減.
(2)由在上恒成立得: 在上恒成立.
整理得: 在上恒成立.
令,易知,當(dāng)時(shí), 在上恒成立不可能, ,
又, ,
1°當(dāng)時(shí), ,又在上單調(diào)遞減,所以在上恒成立,則在上單調(diào)遞減,又,所以在上恒成立.
2°當(dāng)時(shí), , ,又在上單調(diào)遞減,
所以存在,使得,
所以在上,在上,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
又,所以在上恒成立,
所以在上恒成立不可能.
綜上所述, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017·成都一診)已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,設(shè)直線l:x=5與x軸的交點(diǎn)為E,過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l1與橢圓交于A,B兩點(diǎn),M為線段EF的中點(diǎn).
(1)若直線l1的傾斜角為,求△ABM的面積S的值;
(2)過(guò)點(diǎn)B作直線BN⊥l于點(diǎn)N,證明:A,M,N三點(diǎn)共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市高中全體學(xué)生參加某項(xiàng)測(cè)評(píng),按得分評(píng)為兩類(lèi)(評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)表1).根據(jù)男女學(xué)生比例,使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了10000名學(xué)生的得分?jǐn)?shù)據(jù),其中等級(jí)為的學(xué)生中有40%是男生,等級(jí)為的學(xué)生中有一半是女生.等級(jí)為和的學(xué)生統(tǒng)稱為類(lèi)學(xué)生,等級(jí)為和的學(xué)生統(tǒng)稱為類(lèi)學(xué)生.整理這10000名學(xué)生的得分?jǐn)?shù)據(jù),得到如圖2所示的頻率分布直方圖,
類(lèi)別 | 得分() | |
表1
(I)已知該市高中學(xué)生共20萬(wàn)人,試估計(jì)在該項(xiàng)測(cè)評(píng)中被評(píng)為類(lèi)學(xué)生的人數(shù);
(Ⅱ)某5人得分分別為45,50,55,75,85.從這5人中隨機(jī)選取2人組成甲組,另外3人組成乙組,求“甲、乙兩組各有1名類(lèi)學(xué)生”的概率;
(Ⅲ)在這10000名學(xué)生中,男生占總數(shù)的比例為51%, 類(lèi)女生占女生總數(shù)的比例為, 類(lèi)男生占男生總數(shù)的比例為,判斷與的大小.(只需寫(xiě)出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知, .
(Ⅰ)求函數(shù)圖象恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)若恒成立,求的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的條件下,證明: 存在唯一的極小值點(diǎn),且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)求過(guò)點(diǎn)的的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在的最大值;
(3)證明:當(dāng)時(shí),不等式對(duì)任意均成立(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,且方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn), 是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中為常數(shù)),.
(1)求的最大值;
(2)若在區(qū)間上的最大值為,求的值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(Ⅰ)求、.
(Ⅱ)設(shè),求的最大值.
(Ⅲ)證明函數(shù)的圖像與直線沒(méi)有公共點(diǎn).
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