【題目】如圖,在三棱錐中,為等腰直角三角形,為等邊三角形,其中O為BC中點(diǎn),且.

(1)求證:平面平面PBC;

(2)若且平面EBC,其中E為AP上的點(diǎn),求CE與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

（1）由題意可得,,利用線面垂直的判定定理證出平面PAO,從而得證.

（2）作PH垂直于平面ABC,垂足為H,由(1)知,點(diǎn)H在直線AO上,以A為原點(diǎn),AC為x軸,AB為y軸,以過A點(diǎn)與平面ABC垂直的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出以及平面ABC的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

(1) 證明:由題可知,,,且,

故平面PAO,又平面PBC,因此平面平面PBC.

(2)作PH垂直于平面ABC,垂足為H,由(1)知,點(diǎn)H在直線AO上.

如圖,以A為原點(diǎn),AC為x軸,AB為y軸,以過A點(diǎn)與平面ABC垂直的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得如下坐標(biāo):,,,,

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,利用,,可得.從.

因?yàn)?/span>E為AP上的點(diǎn),故存在實(shí)數(shù),使得,點(diǎn)E坐標(biāo)可設(shè)為,

由平面EBC知,,得,

從而,取平面ABC的一個(gè)法向量.

設(shè)CE與平面ABC所成角的為,.

故CE與平面ABC所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，在的延長線上，且.

(1)證明:平面.

(2)過點(diǎn)作的平行線，與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求到平面的距離.

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【題目】設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，是面積為的等邊三角形，，，且平面平面.

（1）確定的位置（需要說明理由），并證明：平面平面.

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【題目】為了減輕家庭困難的高中學(xué)生的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)，讓更多的孩子接受良好的教育，國家施行高中生國家助學(xué)金政策，普通高中國家助學(xué)金平均資助標(biāo)準(zhǔn)為每生每年1500元，具體標(biāo)準(zhǔn)由各地結(jié)合實(shí)際在1000元至3000元范圍內(nèi)確定，可以分為兩或三檔.各學(xué)校積極響應(yīng)政府號召，通過各種形式宣傳國家助學(xué)金政策.為了解某高中學(xué)校對國家助學(xué)金政策的宣傳情況，擬采用隨機(jī)抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行采訪調(diào)查.

（1）若該高中學(xué)校有2000名在校學(xué)生，編號分別為0001，0002，0003，…，2000，請用系統(tǒng)抽樣的方法，設(shè)計(jì)一個(gè)從這2000名學(xué)生中抽取50名學(xué)生的方案.（寫出必要的步驟）

（2）該校根據(jù)助學(xué)金政策將助學(xué)金分為3檔，1檔每年3000元，2檔每年2000元，3檔每年1000元，某班級共評定出3個(gè)1檔，2個(gè)2檔，1個(gè)3檔，若從該班獲得助學(xué)金的學(xué)生中選出2名寫感想，求這2名同學(xué)不在同一檔的概率.

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【題目】設(shè)函數(shù)，其中為正實(shí)數(shù).

(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)當(dāng)時(shí)，證明.

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【題目】某電視臺舉行文藝比賽，并通過網(wǎng)絡(luò)對比賽進(jìn)行直播．比賽現(xiàn)場有5名專家評委給每位參賽選手評分，場外觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)給每位參賽選手評分．每位選手的最終得分由專家評分和觀眾評分確定．某選手參與比賽后，現(xiàn)場專家評分情況如表；場外有數(shù)萬名觀眾參與評分，將評分按照[7，8），[8，9），[9，10]分組，繪成頻率分布直方圖如圖：

專家

A

B

C

D

E

評分

9.6

9.5

9.6

8.9

9.7

（1）求a的值，并用頻率估計(jì)概率，估計(jì)某場外觀眾評分不小于9的概率；

（2）從5名專家中隨機(jī)選取3人，X表示評分不小于9分的人數(shù)；從場外觀眾中隨機(jī)選取3人，用頻率估計(jì)概率，Y表示評分不小于9分的人數(shù)；試求E（X）與E（Y）的值；

（3）考慮以下兩種方案來確定該選手的最終得分：方案一：用所有專家與觀眾的評分的平均數(shù)作為該選手的最終得分，方案二：分別計(jì)算專家評分的平均數(shù)和觀眾評分的平均數(shù)，用作為該選手最終得分．請直接寫出與的大小關(guān)系．

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【題目】已知圓柱底面半徑為1，高為，是圓柱的一個(gè)軸截面，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)，其距離最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線如圖所示.將軸截面繞著軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，邊與曲線相交于點(diǎn).

（1）求曲線的長度；

（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.

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（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，點(diǎn)，求的值.

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