【題目】已知四棱錐,,,,,,平面.
(1)求證:平面平面;
(2)當(dāng)時,求直線和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)要證明面面垂直,需證明線面垂直,由條件可證明,,即證明平面;
(2)由條件可知,所以以C為原點,直線,,分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,先求平面的法向量,利用公式求解.
解:(1)在中,由余弦定理,知,
將,,代入上式,計算得,故,
所以.
又平面,平面,
所以,
所以平面,
又平面,
故平面平面.
(2)由(1)知,,
故.
又平面,所以,,兩兩垂直,以C為原點,
直線,,分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系:
依題意,,,,,
則,,
假設(shè)平面的一個法向量為,
由
得即
令,解得.
而,設(shè)直線和平面所成的角為,
則
即和平面所成角的正弦值為.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若不等式對恒成立,求的最小值;
(2)證明:.
(3)設(shè)方程的實根為.令若存在,,,使得,證明:.
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【題目】如圖,在三棱錐中,為等腰直角三角形,為等邊三角形,其中O為BC中點,且.
(1)求證:平面平面PBC;
(2)若且平面EBC,其中E為AP上的點,求CE與平面ABC所成角的正弦值.
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【題目】已知拋物線:經(jīng)過點,過點作直線交于,兩點,、分別交直線于,兩點.
(1)求的方程和焦點坐標(biāo);
(2)設(shè),求證:為定值.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=丨x+a+1丨+丨x-丨,(a>0)。
(1)證明:f(x)≥5;
(2)若f(1)<6成立,求實數(shù)a的取值范圍。
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【題目】生男生女都一樣,女兒也是傳后人.由于某些地區(qū)仍然存在封建傳統(tǒng)思想,頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿,現(xiàn)隨機抽取某地200戶家庭進行調(diào)查統(tǒng)計.這200戶家庭中,頭胎為女孩的頻率為0.5,生二孩的頻率為0.525,其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數(shù)為60.
(1)完成下列列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認(rèn)為是否生二孩與頭胎的男女情況有關(guān);
生二孩 | 不生二孩 | 合計 | |
頭胎為女孩 | 60 | ||
頭胎為男孩 | |||
合計 | 200 |
(2)在抽取的200戶家庭的樣本中,按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶,進一步了解情況,在抽取的7戶中再隨機抽取4戶,求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中).
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【題目】已知直線、與平面、滿足,,,則下列命題中正確的是( )
A.是的充分不必要條件
B.是的充要條件
C.設(shè),則是的必要不充分條件
D.設(shè),則是的既不充分也不必要條件
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【題目】從拋物線上任意一點P向x軸作垂線段,垂足為Q,點M是線段上的一點,且滿足
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線與軌跡c交于兩點,T為C上異于的任意一點,直線,分別與直線交于兩點,以為直徑的圓是否過x軸上的定點?若過定點,求出符合條件的定點坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.
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