Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中為正實數(shù).

(1)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(2)當(dāng)時，證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

(1)討論研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)在上的最大值．要不等式恒成立，只需最大值小于零，即可求出．

(2)將原不等式等價變形為，由(1)可知，試證在時恒成立，即可由不等式性質(zhì)證出．

（1）由題意得

設(shè)，則，

①當(dāng)時，即時， ，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，滿足題意；

②當(dāng)時，即時，則的圖象的對稱軸

因為，

所以在上存在唯一實根，設(shè)為，則當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

此時，不合題意．

綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．

（2）等價于

因為，所以，所以原不等式等價于，

由(1)知當(dāng)時，在上恒成立，整理得

令，則，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，即在上恒成立.

所以，當(dāng)時，恒有，