【題目】設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,是面積為的等邊三角形,,,且平面平面.

1)確定的位置(需要說明理由),并證明:平面平面.

2)與側(cè)面平行的平面與棱,,分別交于,,求四面體的體積的最大值.

【答案】1上,理由見解析,證明見解析,(2

【解析】

1)取的中點(diǎn),連接,可證在線段上,平面,從而得到平面平面.

2)設(shè),可證,利用導(dǎo)數(shù)可求體積的最大值.

1)證明:取的中點(diǎn),連接,取點(diǎn)的三等分點(diǎn)且,

連接.

因?yàn)?/span>,所以.

又平面平面,平面平面,平面,

所以平面.

因?yàn)?/span>平面,故.

因?yàn)?/span>為等腰直角三角形,的中點(diǎn),故

因?yàn)?/span>,

,故,同理,

因?yàn)?/span>是等邊三角形,故的中心,故,

為三棱錐的外接球的球心,

重合即在線段上且.

因?yàn)?/span>上,所以平面,

平面,所以平面平面.

2)由題意得,解得,

因?yàn)?/span>為等腰直角三角形,的中點(diǎn),故,

而平面平面,平面平面,

平面,故平面,故為點(diǎn)到平面的距離.

在等腰直角三角形中,到平面的距離.

設(shè),到平面的距離為.

因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,平面平面,

,同理,因?yàn)?/span>方向相同,故,

同理,

所以,則的面積為.

,所以到平面的距離為

所以四面體的體積.

設(shè),,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

所以為增函數(shù),在為減函數(shù),

所以

即四面體的體積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】隨著經(jīng)濟(jì)全球化、信息化的發(fā)展,企業(yè)之間的競(jìng)爭(zhēng)從資源的爭(zhēng)奪轉(zhuǎn)向人才的競(jìng)爭(zhēng),吸引、留住培養(yǎng)和用好人才成為人力資源管理的戰(zhàn)略目標(biāo)和緊迫任務(wù),在此背景下,某信息網(wǎng)站在15個(gè)城市中對(duì)剛畢業(yè)的大學(xué)生的月平均收入薪資和月平均期望薪資做了調(diào)查,數(shù)據(jù)如下圖所示.

1)若某大學(xué)畢業(yè)生從這15座城市中隨機(jī)選擇一座城市就業(yè),求該生選中月平均收入薪資高于8500元的城市的概率;

2)現(xiàn)有2名大學(xué)畢業(yè)生在這15座城市中各隨機(jī)選擇一座城市就業(yè),且2人的選擇相互獨(dú)立,記X為選中月平均收入薪資高于8500元的城市的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX);

3)記圖中月平均收入薪資對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為,月平均期望薪資對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為,判斷的大小(只需寫出結(jié)論)

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3)設(shè)方程的實(shí)根為.若存在,,,使得,證明:.

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【題目】在如圖三棱錐ABCD中,BDCD,EF分別為棱BC,CD上的點(diǎn),且BD∥平面AEFAE⊥平面BCD

1)求證:平面AEF⊥平面ACD;

2)若,的中點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知直線與拋物線交于,兩點(diǎn),且的面積為16為坐標(biāo)原點(diǎn)).

1)求的方程;

2)直線經(jīng)過的焦點(diǎn)不與軸垂直,與交于,兩點(diǎn),若線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),證明:為定值.

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【題目】在橢圓上任取一點(diǎn)不為長軸端點(diǎn)),連結(jié),并延長與橢圓分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn),已知的周長為8,面積的最大值為.

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1)求證:

2)若與平面所成的角為,求二面角的大小.

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【題目】如圖,在三棱錐中,為等腰直角三角形,為等邊三角形,其中OBC中點(diǎn),且.

(1)求證:平面平面PBC;

(2)若平面EBC,其中EAP上的點(diǎn),求CE與平面ABC所成角的正弦值.

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