Question

4．如圖，線段AB與⊙O相切于點(diǎn)C，連接OA、OB，OB交⊙O于點(diǎn)D，已知OA=OB=6cm，∠B=30°．求：
（1）⊙O的半徑；（2）圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥AB，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OC=$\frac{1}{2}$OB=3cm；
（2）利用扇形面積公式和S_陰=S_△OBC-S_扇形OCD進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）連接OC，則OC⊥AB．
在Rt△OBC中，
∵∠B=30°，OA=OB=6cm，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=3cm，
∴⊙O的半徑為3cm；
（2）在Rt△OBC中，∠B=30°，
∴∠BOC=60°，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}-O{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_△OBC-S_扇形OCD=$\frac{1}{2}$BC•OC-$\frac{60×π×{3}^{2}}{360}$，
=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3-$\frac{3}{2}π$，
=$\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}π$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了扇形的面積公式和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．