Question

在△ABC中，BC=5，M和I分別為△ABC的重心與內(nèi)心，若MI∥BC，則AB+AC=

 

．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,三角形的重心

專題：

分析：首先連接AM并延長交BC于點D，連接AI并延長交BC與點F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，則IE為內(nèi)切圓I的半徑．根據(jù)三角形重心的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)易得到

IE

AH

=

DM

AD

=

1

3

，即AH=3r．再利用三角形的面積計算公式s△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

（AB+BC+CA）•r，故

1

2

BC•3r=

1

2

（AB+BC+CA）•r，即2BC=AB+CA即可得出答案．

解答：解：連接AM并延長交BC于點D，連接AI并延長交BC與點F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，
則IE為內(nèi)切圓I的半徑，
設IE=r．
∵IM∥BC，
∴

IE

AH

=

DM

AD

=

1

3

，即AH=3r．
∵s△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

（AB+BC+CA）•r，
故

1

2

BC•3r=

1

2

（AB+BC+CA）•r，
即2BC=AB+CA=10．
故答案為：10．

點評：本題考查了三角形的五心．本題綜合性較強，考查知識點較深，是競賽類題目的首選，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形五心的性質(zhì)．