Question

如圖，已知A，B兩點的坐標(biāo)分別為（-3，0），（0，3），⊙C的圓心坐標(biāo)為（3，0），并與x軸交于坐標(biāo)原點O．若E是⊙C上的一個動點，線段AE與y軸交于點D．
（1）線段AE長度的最小值是

 

，最大值是

 

；
（2）當(dāng)點E運動到點E₁和點E₂時，線段AE所在的直線與⊙C相切，求由AE₁、AE₂、弧E₁OE₂所圍成的圖形的面積；
（3）求出△ABD的最大值和最小值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)動點E在x軸上時，AE取得最小值與最大值解答；
（2）連接CE₁、CE₂，根據(jù)圓的切線的定義可得CE₁⊥AE₁，CE₂⊥AE₂，解直角三角形求出∠ACE₁=60°，過點E₁作E₁F⊥x軸于F，利用∠ACE₁的正弦求出E₁F，然后利用三角形的面積求出△ACE₁的面積，同理可得△ACE₂的面積，再根據(jù)由AE₁、AE₂、弧E₁OE₂所圍成的圖形的面積=四邊形AE₁CE₂的面積-扇形CE₁E₂的面積，然后列式計算即可得解；
（3）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DAO=30°，利用∠DAO的正切值求出OD的長度，根據(jù)三角形的面積，點D在y軸負(fù)半軸時，△ABD的面積取得最大值，在y軸正半軸時，△ABD的面積取得最小值，然后進(jìn)行計算即可得解，

解答：解：（1）∵A（-3，0），
∴OA=3，
∵⊙C的圓心坐標(biāo)為（3，0），并與x軸交于坐標(biāo)原點O，
∴⊙C的半徑為3，
∴AE長度的最小值為3，最大值為3+3×2=9；
故答案為：3，9；

（2）如圖，連接CE₁、CE₂，
∵點E運動到點E₁和點E₂時，線段AE所在的直線與⊙C相切，
∴CE₁⊥AE₁，CE₂⊥AE₂，
∵cos∠ACE₁=

CE1

AC

=

3

3+3

=

1

2

，
∴∠ACE₁=60°，
過點E₁作E₁F⊥x軸于F，則E₁F=CE₁•sin60°=3×sin60°=3×

3

2

=

3 3

2

，
∴△ACE₁的面積=

1

2

AC•E₁F=

1

2

×6×

3 3

2

=

9 3

2

，
同理可得，△ACE₂的面積=

9 3

2

，
∴四邊形AE₁CE₂的面積=△ACE₁的面積+△ACE₂的面積=

9 3

2

+

9 3

2

=9

3

，
由AE₁、AE₂、弧E₁OE₂所圍成的圖形的面積=四邊形AE₁CE₂的面積-扇形CE₁E₂的面積，
=9

3

-

(60+60)•π•32

360

，
=9

3

-3π；

（3）∵∠ACE₁=60°，
∴∠DAO=90°-ACE₁=90°-60°=30°，
∴OD=AO•tan∠DAO=3tan30°=3×

3

3

=

3

，
∵點A到BD的距離為OA的長度，不變，
∴點D在y軸負(fù)半軸時，△ABD的面積取得最大值，
此時BD=OB+OD=3+

3

，
最大面積為：

1

2

×（3+

3

）×3=

9+3 3

2

，
在y軸正半軸時，△ABD的面積取得最小值，
時BD=OB-OD=3-

3

，
最小面積為：

1

2

×（3-

3

）×3=

9-3 3

2

．

點評：本題是圓的綜合題型，主要考查了圓外一點與圓上各點的距離的最值問題，圓的切線問題，解直角三角形，以及三角形的面積，綜合題，但難度不大，（1）（3）確定出最大值與最小值時的點E的位置是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)對稱性求出四邊形的面積，并表示出圍成圖形的表示是解題的關(guān)鍵．