Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象與x軸交于點A（1，0）與B（3，0），交y軸于點C，其圖象頂點為D．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）試問△ABD與△BCO是否相似？并證明你的結(jié)論；
（3）若點P是此二次函數(shù)圖象上的點，且∠PAB=∠ACB，試求點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點A、B的坐標代入二次函數(shù)解析式求出a、b的值，即可得解；
（2）由（1）中的二次函數(shù)解析式即可求得點C、D的坐標．然后根據(jù)兩點間的距離公式、勾股定理以及等腰三角形的判定推知△ABD和△BCO都是等腰直角三角形，所以它們相似；
（3）首先求出tan∠ACB=

1

2

，進而得出過A（1，0）的直線為y=±

1

2

（x-1），將兩函數(shù)聯(lián)立求出交點坐標即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+3的圖象與x軸交于點A（1，0）與B（3，0），
∴

0=a+b+3 0=9a+3b+3

，
解得，

a=1 b=-4

，
∴此二次函數(shù)的解析式是：y=x²-4x+3；

（2）△ABD與△BCO相似．
理由如下：
∵由（1）知，該拋物線的解析式是y=x²-4x+3=（x-2）²-1．
故C（0，3），D（2，-1）．
∵OC=OB=3，
∴△BCO是等腰直角三角形．
又∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，-1），
∴AD=BD=

2

，AB=2，
∴AB²=AD²+BD²
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴△ABD與△BCO相似；

（3）延長CA，并過B點做垂直于CA的直線與CA相交與E點，
∵∠CAO=∠BAE，
∠COA=∠BEA，
∴△COA∽△BEA，
∴

CA

BA

=

CO

BE

=

OA

EA

，
根據(jù)勾股定理，CA=

10

，
則EA=

10

5

，EB=

6

10

=

3 10

5

，
tan∠ACB=

BE

AC+AE

=

1

2

，
∵∠APB=∠ACB，
則tan∠APB=

1

2

，
令過A（1，0）的直線為y=k（x-1），
∵∠PAB=∠ACB，
故k=±tan∠ACB=±

1

2

，
故：y=±

1

2

（x-1），
分別與y=x²-4x+3聯(lián)立得：

1

2

（x-1）=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=

7

2

，
∴y₁=0，y₂=-

3

4

，
-

1

2

（x-1）=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=

5

2

，
∴y₁=0，y₂=

5

4

，
∵A點坐標為：（1，0），
所以：P（

7

2

，-

3

4

）或P（

5

2

，

5

4

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及兩函數(shù)交點坐標求法和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出過點A符合要求的直線解析式是解題關(guān)鍵．