Question

已知：OP為∠MON的平分線，點(diǎn)A、B分別是射線OM、ON上的點(diǎn)，BC平分∠ABN．交射線DP于點(diǎn)C．連接AC
（1）求證：∠MAC+∠OCB=90°；
（2）當(dāng)∠MON=90°時(shí)，過點(diǎn)A作AF∥0N．交BC于點(diǎn)F，交0C于點(diǎn)E，連接BE．若BE=BF，請(qǐng)?bào)w探究線段AC與AE之間的數(shù)量關(guān)系．井證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）過C作CD⊥OM于D，CG⊥AB于G，CH⊥ON于H，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=CG，求出∠DCA=∠GCA，∠GCB=∠HCB，求出∠AOC+∠ACO+∠OCB=90°，把∠MAC=∠AOC+∠ACO代入求出即可；
（2）過C作CD∥ON交OM于D，證△EFB∽△BFA，推出BF²=EF•FA，證△ACF∽△CEF，推出CF²=EF•AF，求出CF=BF，推出AD=AO，得出△DOC是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出AC²=AD²+DC²=5AD²，得出AC=

5

AD，即可得出答案．

解答：（1）證明：如圖1，過C作CD⊥OM于D，CG⊥AB于G，CH⊥ON于H，
∵OC平分∠MON，BC平分∠ABN，
∴CD=CH，CG=CH，
∴CD=CG，
∴AC平分∠MAB，
∴∠DAC=∠BAC，∠CDA=∠CGA=90°，
∴∠DCA=∠GCA，
同理∠GCB=∠HCB，
∴∠ACB=

1

2

∠DCH，∠AOC=

1

2

∠AOB，
∵∠ODC=∠CHO=90°，
∴∠DCH+∠DOH=180°，
∴∠ACB+∠AOC=90°，
∴∠AOC+∠ACO+∠OCB=90°，
∵∠MAC=∠AOC+∠ACO，
∴∠MAC+∠OCB=90°；

（2）AC=

5

AE，
證明：過C作CD∥ON交OM于D，
∵AF∥ON，
∴∠FBN=∠AFB，
∵BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF，
∵∠ABF=∠FBN，
∴∠FEB=∠ABF，
∵∠BFE=∠AFB，
∴△EFB∽△BFA，
∴

EF

BF

=

BF

AF

，
∴BF²=EF•FA，
∵AF∥ON，∠AOB=90°，
∴∠OAF+AOB=180°，
∴∠OAF=90°，
∴∠AOC+∠AED=90°，
∵∠ACB+∠AOC=90°，∠AEO=∠CEF，
∴∠ACF=∠CEF，
∵∠APC=∠CFE，
∴△ACF∽△CEF，
∴

EF

CF

=

CF

AF

，
∴CF²=EF•AF，
∴CF=BF，
∴AD=AO，
∵∠AOC=45°，
∴△DOC是等腰直角三角形，
∴

AD

DC

=

1

2

，
∵AC²=AD²+DC²=5AD²，
∴AC=

5

AD，
∵△OAE是等腰直角三角形，
∴AE=AO=AD，
∴AC=

5

AE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．