Question

18．為積極開展“六城同創(chuàng)”工作，我市綠化提質(zhì)改造工程正如火如荼地進行，需要大量的甲、乙兩種樹苗對濱江路進行綠化改造，某樹苗種植戶經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：如果單獨種植甲種樹苗，所獲利潤y_甲（萬元）與種植畝數(shù)x₁（畝）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系y_甲=kx₁，并且當種植5畝時可獲利潤2萬元；如果單獨種植乙種樹苗，則所獲利潤y_乙（萬元）與種植畝數(shù)x₂（畝）之間存在二次函數(shù)關(guān)系：y_乙=ax₂²+bx₂，且種植2畝時能獲利潤2.4萬元，當種植4畝時，可獲利潤3.2萬元
（1）請分別求出上述的正比例函數(shù)表達式與二次函數(shù)表達式
（2）如果種植戶想用10畝地同時種植甲、乙兩種樹苗，請設(shè)計一個能獲得最大利潤的種植方案，并求出按此方案種植所獲得的最大利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）根據(jù)題意得W_總=y_甲+y_乙=$\frac{2}{5}$（10-x₂）+（-0.2x₂²+1.6x₂）=-0.2x₂²+1.2x₂+4=-0.2（x₂-3）²+5.8，據(jù)此可得．

解答 解：（1）將x=5、y=2代入y_甲=kx₁，得：5k=2，
解得：k=$\frac{2}{5}$，
∴y_甲=$\frac{2}{5}$x₁；
將x=2、y=2.4和x=4、y=3.2代入y_乙=ax₂²+bx₂，得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=2.4}\\{16a+4b=3.2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.2}\\{b=1.6}\end{array}\right.$，
∴y_乙=-0.2x₂²+1.6x₂；

（2）根據(jù)題意得：W_總=y_甲+y_乙
=$\frac{2}{5}$（10-x₂）+（-0.2x₂²+1.6x₂）
=-0.2x₂²+1.2x₂+4
=-0.2（x₂-3）²+5.8，
當x₂=3時，W_總利潤最大為5.8萬元，
答：當種植甲種樹苗7畝，乙種樹苗3畝時，所獲利潤最大，種植所獲得的最大利潤為5.8萬元．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及銷售問題中的最大利潤問題是解題的關(guān)鍵．